الدوال الأسية:
الدوال الأسية هي نوع من الدوال التي تُكتب على الصورة:
y = a^x
حيث a هو عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، و x هو عدد حقيقي.
خصائص الدوال الأسية:
لدوال الأسية العديد من الخصائص، بما في ذلك:
- النمو اللانهائي: إذا كان a > 1، فإن الدالة y = a^x تنمو باطراد مع زيادة x.
- الانكماش اللانهائي: إذا كان 0 < a < 1، فإن الدالة y = a^x تنكمش باطراد مع زيادة x.
- النقطتان (0, 1) و (1, a) على الرسم البياني للدالة دائمًا.
تطبيقات الدوال الأسية:
لدى الدوال الأسية العديد من التطبيقات في الرياضيات، مثل:
- الحساب:
تستخدم الدوال الأسية في الحساب لدراسة العمليات الرياضية الأساسية.
- الهندسة:
تستخدم الدوال الأسية في الهندسة لدراسة الأشكال الهندسية.
- الفيزياء:
تستخدم الدوال الأسية في الفيزياء لدراسة العمليات الفيزيائية.
- الكيمياء:
تستخدم الدوال الأسية في الكيمياء لدراسة العمليات الكيميائية.
- الاقتصاد:
تستخدم الدوال الأسية في الاقتصاد لدراسة العمليات الاقتصادية.
أمثلة على الدوال الأسية:
تشمل بعض الأمثلة على الدوال الأسية:
الدالة y = 2^x:
تنمو هذه الدالة بشكل أسي، حيث يزداد y بمقدار 2 مع كل زيادة في x.
الدالة y = 1/2^x:
تنكمش هذه الدالة بشكل أسي، حيث يقل y بمقدار 2 مع كل زيادة في x.
الدالة y = e^x:
تُعرف هذه الدالة باسم الدالة الأسية الطبيعية. وهي مهمة في العديد من المجالات الرياضية والعلمية.
النمو الأسي:
يشير النمو الأسي إلى النمو السريع وغير المتقطع للكمية. يحدث النمو الأسي في العديد من العمليات الطبيعية، مثل نمو السكان وانتشار العدوى.
الانكماش الأسي:
يشير الانكماش الأسي إلى الانكماش السريع وغير المتقطع للكمية. يحدث الانكماش الأسي في العديد من العمليات الطبيعية، مثل اضمحلال الإشعاع.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول الدوال الأسية:
التمرين 1:
ارسم منحنى الدالة التالية:
y = 2^x
الحل:
يمكن رسم منحنى الدالة 2^x عن طريق رسم نقاط على المستوى الديكارتي حيث يكون x هو الإحداثي x وy هو الإحداثي y.
x | y
-2 | 0.015625
-1 | 0.25
0 | 1
1 | 2
2 | 4
يمكن رسم هذه النقاط للحصول على منحنى الدالة 2^x، وهو منحنى ينمو باطراد مع زيادة x.
التمرين 2:
اوجد قيمة y في الدالة التالية:
y = 2^x
حيث x = 3.
الحل:
y = 2^3 = 8
التمرين 3:
حدد نوع النمو للدالة التالية:
y = 2^x
الحل:
لأن a > 1، فإن الدالة y = 2^x تنمو باطراد مع زيادة x.
التمرين 4:
اكتب الدالة الأسية التالية على الصورة y = a^x:
y = 1/2^x
الحل:
y = 1/2^x = 2^(-x)
التمرين 5:
ارسم منحنى الدالة التالية:
y = e^x
الحل:
يمكن رسم منحنى الدالة e^x عن طريق رسم نقاط على المستوى الديكارتي حيث يكون x هو الإحداثي x وy هو الإحداثي y.
x | y
-2 | 0.1353352832366127
-1 | 2.718281828459045
0 | 1
1 | 2.718281828459045
2 | 7.38905609893065
يمكن رسم هذه النقاط للحصول على منحنى الدالة e^x، وهو منحنى ينمو باطراد مع زيادة x.
هذه مجرد أمثلة قليلة على التمارين حول الدوال الأسية. يمكن العثور على المزيد من التمارين في الكتب المدرسية، أو على الإنترنت.
التسميات
رياضيات 3 ثا. سع