الأعداد المركَّبة:
الأعداد المركبة هي أعداد تتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي. يُشار إلى الجزء الحقيقي عادةً بالرمز "a"، ويُشار إلى الجزء التخيلي بالرمز "b".
يمكن كتابة الأعداد المركبة على النحو التالي:
z = a + bi
حيث:
- a هو الجزء الحقيقي.
- b هو الجزء التخيلي.
- i هو الوحدة التخيلية، والتي تساوي جذر سالب واحد.
يمكن إجراء العمليات الحسابية الأساسية على الأعداد المركبة مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.
الجمع والطرح:
لجمع أو طرح عددين مركبين ، يتم جمع أو طرح الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية بشكل منفصل.
على سبيل المثال:
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 - 2i
z1 + z2 = (2 + 1) + (3 - 2)i = 3 + 1i
الضرب:
لضرب عددين مركبين ، يتم استخدام الصيغة التالية:
(a + bi)(c + di) = ac + (ad + bc)i + (bd - ai)i^2
حيث:
i^2 = -1
على سبيل المثال:
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 - 2i
z1 * z2 = (2 * 1) + (2 * -2 + 3 * 1)i + (3 * -2 - 2 * 1)i^2
z1 * z2 = 2 - 4i - 6i^2
z1 * z2 = 2 + 4i
القسمة:
لقسمة عددين مركبين ، يتم استخدام الصيغة التالية:
(a + bi)/(c + di) = (a/c) + (b/c)i - (b/c^2)i
على سبيل المثال:
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 - 2i
z1 / z2 = (2/1) + (3/1)i - (3/1^2)i
z1 / z2 = 2 + 3i - 3i
z1 / z2 = 2 + 0i
الأعداد المركبة في الهندسة:
يمكن تمثيل الأعداد المركبة على المستوى المركب ، وهو نظام إحداثيات يتكون من محورين. يُعرف المحور الأفقي باسم المحور الحقيقي ، ويُعرف المحور الرأسي باسم المحور التخيلي.
يمكن تمثيل أي عدد مركب z على المستوى المركب باستخدام نقطة ذات إحداثيات (a ، b).
على سبيل المثال ، يمكن تمثيل العدد المركب z = 2 + 3i على المستوى المركب باستخدام النقطة (2 ، 3).
يمكن استخدام الأعداد المركبة في الهندسة لتمثيل الأشكال الهندسية المختلفة ، مثل الدوائر والمثلثات.
الأعداد المركبة في الفيزياء:
تستخدم الأعداد المركبة على نطاق واسع في الفيزياء ، وخاصة في مجالات الكهرومغناطيسية والنظرية النسبية.
على سبيل المثال، يمكن استخدام الأعداد المركبة لتمثيل الموجات الكهرومغناطيسية ، والتي لها مكونات حقيقية وتخيلية.
يمكن أيضًا استخدام الأعداد المركبة لتمثيل حلول معادلات فيرما ، والتي تلعب دورًا مهمًا في نظرية النسبية.
الأعداد المركبة في الرياضيات:
تستخدم الأعداد المركبة على نطاق واسع في الرياضيات ، وخاصة في مجالات الجبر والتحليل.
على سبيل المثال، يمكن استخدام الأعداد المركبة لدراسة الجبر الخطي ، والذي يلعب دورًا مهمًا في العديد من المجالات العلمية.
يمكن أيضًا استخدام الأعداد المركبة لدراسة التحليل المركب ، والذي يوفر مجموعة من الأدوات المفيدة لدراسة الوظائف الرياضية المعقدة.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول الأعداد المركبة:
التمرين 1:
احسب ناتج الأعداد المركبة التالية:
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 - 2i
الحل:
z1 * z2 = (2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i - 6i^2
z1 * z2 = 2 + 4i
التمرين 2:
اقسم العدد المركب z1 على العدد المركب z2:
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 - 2i
الحل:
z1 / z2 = (2 + 3i)/(1 - 2i) = (2/1) + (3/1)i - (3/1^2)i
z1 / z2 = 2 + 3i - 3i
z1 / z2 = 2 + 0i
التمرين 3:
اكتب العدد المركب z = 3 + 4i على المستوى المركب.
الحل:
z = 3 + 4i = (3, 4)
التمرين 4:
احسب قيمة مطلق العدد المركب z = 3 + 4i.
الحل:
|z| = |3 + 4i| = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5
يمكنك إنشاء تمارين خاصة بك بناءً على اهتماماتك وأهدافك. على سبيل المثال، إذا كنت مهتمًا بالفيزياء، يمكنك إنشاء تمرين حول استخدام الأعداد المركبة لتمثيل الموجات الكهرومغناطيسية.
التسميات
رياضيات 2 ثا. سع