قسمة كثيرات الحدود Dividing Polynomials

قسمة كثيرات الحدود:

قسمة كثيرات الحدود هي عملية رياضية تُستخدم لكتابة كثير الحدود الأول (المقسوم) على كثير الحدود الثاني (المقسوم عليه) على شكل كثير الحدود الثالث (الحاصل) وباقي (الباقي).

يمكن كتابة قسمة كثيرات الحدود على شكل رمزي على النحو التالي:

p(x) = d(x) * q(x) + r(x)

حيث:

• p(x) هو المقسوم.
• d(x) هو المقسوم عليه.
• q(x) هو الحاصل.
• r(x) هو الباقي.

يمكن أيضًا كتابة قسمة كثيرات الحدود على شكل جدولي، على النحو التالي:

| x | p(x) | d(x) | q(x) | r(x) |

|---|---|---|---|---|

| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |

| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |

| 2 | 4 | 2 | 2 | 0 |

| 3 | 9 | 3 | 3 | 0 |

| 4 | 16 | 4 | 4 | 0 |

في هذا المثال، المقسوم هو $p(x)=x^4-1$، والمقسوم عليه هو $d(x)=x-1$. الحاصل هو $q(x)=x^3+x^2+x+1$، والباقي هو $r(x)=0$.

طرق لقسمة كثيرات الحدود:

هناك عدة طرق لقسمة كثيرات الحدود، أشهرها:

• طريقة القسمة المطولة.
• طريقة القسمة التركيبية.
• طريقة القسمة على وحيد الحد.

- طريقة القسمة المطولة:

هي الطريقة الأكثر شيوعًا لقسمة كثيرات الحدود. تعتمد هذه الطريقة على تقليل كثير الحدود المقسم إلى حدين عند كل خطوة من خطوات القسمة.

- طريقة القسمة التركيبية:

هي طريقة مشابهة لطريقة القسمة المطولة، ولكنها أسهل في التطبيق. تعتمد هذه الطريقة على تقسيم كثير الحدود المقسم إلى حدين عند كل خطوة من خطوات القسمة، باستخدام طريقة القسمة على وحيد الحد.

- طريقة القسمة على وحيد الحد:

هي أبسط طريقة لقسمة كثيرات الحدود. تعتمد هذه الطريقة على قسمة كل حد من حدود المقسوم على المقسوم عليه، إذا كان المقسوم عليه وحيد الحد.

استخدامات قسمة كثيرات الحدود:

تستخدم قسمة كثيرات الحدود في العديد من المجالات، مثل:

• حل المعادلات التفاضلية.
• الجبر الخطي.
• التحليل الرياضي.
• الهندسة.
• العلوم.

مثال على قسمة كثيرات الحدود:

اقسم كثير الحدود $p(x)=x^4-5x^3+2x^2-7x+6$ على كثير الحدود $d(x)=x-2$ باستخدام طريقة القسمة المطولة.

| x | p(x) | d(x) | q(x) | r(x) |

|---|---|---|---|---|

| 0 | 6 | 2 | 3 | 4 |

| 1 | 3 | 1 | 3 | 0 |

| 2 | 0 | 2 | 0 | 0 |

الحاصل هو $q(x)=3x^3+3x^2+3x+4$، والباقي هو $r(x)=0$.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول قسمة كثيرات الحدود: 1- اقسم كثير الحدود $p(x)=x^3-2x^2+3x-6$ على كثير الحدود $d(x)=x-1$ باستخدام طريقة القسمة المطولة.
2- اقسم كثير الحدود $p(x)=x^3+2x^2+4x+8$ على كثير الحدود $d(x)=x+2$ باستخدام طريقة القسمة المطولة.
3- اقسم كثير الحدود $p(x)=x^3-2x^2+3x-6$ على كثير الحدود $d(x)=x^2-1$ باستخدام طريقة القسمة على وحيد الحد.
4- اقسم كثير الحدود $p(x)=x^3+2x^2+4x+8$ على كثير الحدود $d(x)=x^2+2x+1$ باستخدام طريقة القسمة على وحيد الحد.

الحلول:

فيما يلي حلول هذه التمارين:

التمرين 1:

| x | p(x) | d(x) | q(x) | r(x) | |---|---|---|---|---| | 0 | -6 | 1 | -6 | 0 | | 1 | -6 | 1 | -6 | 0 | | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 |

الحاصل هو q(x)=−6x+0، والباقي هو r(x)=0.

التمرين 2:

| x | p(x) | d(x) | q(x) | r(x) | |---|---|---|---|---| | 0 | 8 | 1 | 8 | 0 | | 1 | 8 | 1 | 8 | 0 | | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 |

الحاصل هو q(x)=8x+0، والباقي هو r(x)=0.

التمرين 3:

| x | p(x) | d(x) | q(x) | r(x) | |---|---|---|---|---| | 0 | -6 | x^2 | -6x | -6 | | 1 | -6 | x^2 | -6x | -6 | | 2 | 0 | x^2 | 0 | 0 |

الحاصل هو q(x)=−6x، والباقي هو r(x)=0.

التمرين 4:

| x | p(x) | d(x) | q(x) | r(x) | |---|---|---|---|---| | 0 | 8 | x^2 | 8x | 0 | | 1 | 8 | x^2 | 8x | 0 | | 2 | 0 | x^2 | 0 | 0 |

الحاصل هو q(x)=8x، والباقي هو r(x)=0. أتمنى أن تكون هذه التمارين مفيدة لك في تعلم قسمة كثيرات الحدود.