خصائص القطوع الناقصة والدوائر Ellipses and circles

القطوع الناقصة والدوائر:

القطوع الناقصة والدوائر هي أشكال هندسية ثنائية الأبعاد، وهي أحد القطوع المخروطية. وتنشأ القطوع الناقصة والدائرة من قطع سطح مخروطي دائري قائم بمستو موازٍ أو عمودي على قاعدته.

خصائص القطع الناقص:

القطع الناقص هو شكل هندسي يشبه البيضة، وهو يتميز بخصائص عديدة، منها:

- بؤرتان:

تقع البؤرتان على المحور الرئيسي للقطع الناقص، وتكون على نفس بعد الدليل من المحور الرئيسي.

- دليل:

يمر الدليل بالنقطة التي تقع على المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويكون عموديًا على هذا المحور.

- محور رئيسي:

يمر بالبؤرتين، ويكون عموديًا على الدليل.

- محور مرافق:

يمر بالبؤرتين، ويكون موازيًا للدليل.

- رأس القطع الناقص:

هي نقطة تقع على المحور الرئيسي للقطع الناقص، وتكون على نفس بعد البؤرة من الدليل.

يمكن تعريف القطع الناقص رياضيًا على أنه المحل الهندسي للنقاط التي تبعد عن كل من البؤرتين مسافة تختلف بمقدار ثابت.

الدائرة:

الدائرة هي شكل هندسي دائري، وهو يتميز بخصائص عديدة، منها:

- مركز:

هو نقطة تقع في مركز الدائرة.

- محيط:

هو الخط الذي يحيط بالدائرة.

- قطر:

هو الخط الذي يمر بالمركز ويربط بين نقطتين على المحيط.

- نصف قطر:

هو نصف قطر الدائرة، وهو الخط الذي يربط بين المركز ونقطة على المحيط.

- محيط الدائرة:

هو مجموع أطوال جميع الخطوط التي تربط بين نقطتين على المحيط.

- مساحة الدائرة:

هي مساحة المنطقة المحصورة بالدائرة.

يمكن تعريف الدائرة رياضيًا على أنه المحل الهندسي للنقاط التي تبعد عن مركز الدائرة مسافة ثابتة.

الفرق بين القطوع الناقصة والدوائر:

يمكن التمييز بين القطوع الناقصة والدوائر من خلال الخصائص التالية:

- عدد البؤر:

للقطع الناقص بؤرتان، بينما للدائرة بؤرة واحدة.

- اختلاف المسافة بين النقطة والبؤرتين:

تختلف المسافة بين أي نقطة على القطع الناقص والبؤرتين بمقدار ثابت، بينما تكون المسافة بين أي نقطة على الدائرة والمركز ثابتة.

- شكل الدائرة:

تتميز الدائرة بشكل دائري، بينما قد يكون للقطع الناقص شكل بيضاوي.

تطبيقات القطوع الناقصة والدوائر:

توجد العديد من التطبيقات الهندسية والعلمية للقطوع الناقصة والدوائر، منها:

- المرآة المكافئة:

تُستخدم المرآة المكافئة في تركيز الضوء، مثلًا في المصابيح الكاشفة.

- الراديو:

يستخدم الراديو في تجميع الإشارات الراديوية، مثلًا في الهوائيات.

- الطاقة الشمسية:

تستخدم الطاقة الشمسية في تجميع ضوء الشمس، مثلًا في الألواح الشمسية.

- العدسات:

تستخدم العدسات في تكبير أو تصغير الصور، مثلًا في العدسات المكبرة والمصغرة.

- الهندسة المعماري:

تستخدم القطوع الناقصة والدوائر في تصميم المباني، مثلًا في القباب والمآذن.

- الفن:

تستخدم القطوع الناقصة والدوائر في رسم الصور، مثلًا في اللوحات الفنية.

في الختام، يمكن القول أن القطوع الناقصة والدوائر هي أشكال هندسية مهمة لها العديد من التطبيقات في حياتنا اليومية.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول القطوع الناقصة والدوائر:

التمرين الأول:

ارسم دائرة مركزها (0، 0) ونصف قطرها 5.

الحل:

نبدأ بتحديد نقطة المركز (0، 0). ثم نرسم دائرة تبعد عن هذه النقطة مسافة 5.

التمرين الثاني:

ارسم قطعًا ناقصاً بؤرتاه (2، 0) و(-2، 0) وطول المحور الرئيسي 10.

الحل:

نبدأ بتحديد البؤرتين (2، 0) و(-2، 0). ثم نرسم خطًا يمر بالبؤرتين، ويسمى المحور الرئيسي.

ثم نرسم نقطتين على المحور الرئيسي، بحيث تكون المسافة بين كل نقطة والبؤرة مساوية للمسافة بين هذه النقطة والمحور الرئيسي. ثم نوصل هذه النقطتين بخط، وهو القطع الناقص.

التمرين الثالث:

اوجد بؤر الدائرة التي تمر بالنقاط (1، 2)، (-1، 2)، (1، -2)، (-1، -2).

الحل:

نلاحظ أن الدائرة تمر بالنقاط (1، 2) و(-1، 2). كما نلاحظ أن المسافة بين كل من هذه النقطتين والمركز هي نفسها.

لذلك، فإن المركز هو نقطة تقع على المحور المرافق للدائرة، ويبعد عن كل من النقطتين (1، 2) و(-1، 2) مسافة 2. أي (0، 2).

لذلك، فإن بؤر الدائرة هي النقطة التي تبعد عن (0، 2) مسافة 2. أي (0، 0).

التمرين الرابع:

اوجد طول المحور المرافق للدائرة التي تمر بالنقاط (1، 2)، (-1، 2)، (1، -2)، (-1، -2).

الحل:

نلاحظ أن طول المحور المرافق للدائرة هو المسافة بين البؤرة والمركز.

كما نلاحظ أن المسافة بين كل من هذه النقطتين والمركز هي نفسها.

لذلك، فإن طول المحور المرافق للدائرة هو 2.

التمرين الخامس:

اوجد طول القطر الذي يمر بالنقطة (1، 2) للدائرة التي تمر بالنقاط (1، 2)، (-1، 2)، (1، -2)، (-1، -2).

الحل:

نلاحظ أن القطر الذي يمر بالنقطة (1، 2) هو الخط الذي يمر بالنقطة (1، 2) والبؤرة.

كما نلاحظ أن المسافة بين كل من هذه النقطتين والمركز هي نفسها.

لذلك، فإن طول القطر الذي يمر بالنقطة (1، 2) هو 4.

هذه مجرد بعض التمارين حول القطوع الناقصة والدوائر. هناك العديد من التمارين الأخرى التي يمكن أن تُستخدم لتدريب الطلاب على هذه الأشكال الهندسية.