الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء:
الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي هما نوعان من الضرب بين المتجهات.
الضرب الداخلي:
الضرب الداخلي للمتجهات هو عملية ضرب متجهات تنتج عددًا حقيقيًا. يمكن تعريف الضرب الداخلي للمتجهات u وv على النحو التالي:
(u, v) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z
حيث ux وvx هما الإحداثي x للمتجهين u وv على التوالي، وuy وvy هما الإحداثي y للمتجهين u وv على التوالي، وuz وvz هما الإحداثي z للمتجهين u وv على التوالي.
يمكن تفسير الضرب الداخلي للمتجهات على أنه حاصل ضرب طولي المتجهين مضروبًا في جيب الزاوية بينهما.
الضرب الاتجاهي:
الضرب الاتجاهي للمتجهات هو عملية ضرب متجهات تنتج متجهًا جديدًا. يمكن تعريف الضرب الاتجاهي للمتجهات u وv على النحو التالي:
u \times v =
\begin{pmatrix}
u_y v_z - u_z v_y \\
u_z v_x - u_x v_z \\
u_x v_y - u_y v_x
\end{pmatrix}
يمكن تفسير الضرب الاتجاهي للمتجهات على أنه متجه عمودي على u وv، وله طول يساوي حاصل ضرب طولي المتجهين مضروبًا في جيب الجيب (الزاوية بين u وv).
الفرق بين الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي:
الفرق الرئيسي بين الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي هو أن الضرب الداخلي ينتج عددًا حقيقيًا، بينما ينتج الضرب الاتجاهي متجهًا جديدًا.
تطبيقات الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي:
يستخدم الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي في العديد من المجالات العلمية، مثل:
- الفيزياء:
يستخدم الضرب الداخلي لحساب العمل الذي يقوم به القوى، وطاقة الحركة والطاقة الحركية.
- الهندسة:
يستخدم الضرب الاتجاهي لحساب حجم متوازي المستطيلات.
- الرياضيات:
يستخدم الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي لتعريف قياس الزاوية بين متجهين.
مثال على الضرب الداخلي:
لنفترض أن لدينا متجهين في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
u = (1, 2, 3)
v = (4, 5, 6)
فإن الضرب الداخلي للمتجهين u وv هو:
(u, v) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 37
وهذا يعني أن حاصل ضرب متجهين u وv هو 37.
مثال على الضرب الاتجاهي:
لنفترض أن لدينا متجهين في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
u = (1, 2, 3)
v = (4, 5, 6)
فإن الضرب الاتجاهي للمتجهين u وv هو:
u \times v =
\begin{pmatrix}
2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 \\
3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 \\
1 \cdot 5 - 2 \cdot 4
\end{pmatrix}
= (-4, 6, -3)
وهذا يعني أن متجه الضرب الاتجاهي للمتجهين u وv هو متجه باتجاه (-4, 6, -3) وطول 24.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء:
التمرين الأول:
احسب الضرب الداخلي للمتجهات u=(1,2,3) وv=(4,5,6) في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
الحل:
يمكن حساب الضرب الداخلي للمتجهات u وv كما يلي:
(u, v) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 37
التمرين الثاني:
احسب الضرب الاتجاهي للمتجهات u=(1,2,3) وv=(4,5,6) في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
الحل:
يمكن حساب الضرب الاتجاهي للمتجهات u وv كما يلي:
u \times v =
\begin{pmatrix}
2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 \\
3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 \\
1 \cdot 5 - 2 \cdot 4
\end{pmatrix}
= (-4, 6, -3)
التمرين الثالث:
أثبت أن الضرب الداخلي للمتجهات u وv يساوي صفر إذا وفقط إذا كان u وv متعامدان.
الحل:
إذا كان u وv متعامدان، فإن الزاوية بينهما تساوي 90∘. وبما أن جيب الزاوية 90∘ يساوي صفر، فإن الضرب الداخلي للمتجهات u وv يساوي صفر.
وبالعكس، إذا كان الضرب الداخلي للمتجهات u وv يساوي صفر، فإن جيب الزاوية بينهما يساوي صفر. وبما أن جيب الزاوية 0∘ يساوي صفر، فإن الزاوية بينهما تساوي 90∘.
وبالتالي، فإن u وv متعامدان.
التمرين الرابع:
احسب الزاوية بين متجهين في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
الحل:
يمكن حساب الزاوية بين متجهين في الفضاء الثلاثي الأبعاد باستخدام قانون الجيب، كما يلي:
cos \theta = \frac{(u, v)}{||u|| \cdot ||v||}
حيث θ هي الزاوية بين المتجهين u وv.
لنفترض أن لدينا متجهين في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
u = (1, 2, 3)
v = (4, 5, 6)
فإن الزاوية بين المتجهين u وv هي:
cos \theta = \frac{(u, v)}{||u|| \cdot ||v||} = \frac{37}{10}
وبالتالي، فإن الزاوية بين المتجهين u وv هي cos−1(1037)≈51.09∘.
هذه مجرد بعض التمارين حول الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء. هناك العديد من التمارين الأخرى التي يمكن استخدامها لتدريب الطلاب على فهم المفاهيم الأساسية للضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات.
التسميات
رياضيات 3 ثا. سع