خصائص الضرب الداخلي internal beating

الضرب الداخلي:

الضرب الداخلي هو عملية ضرب متجهات في الفضاء الإحداثي. يمكن تعريفه على أنه حاصل ضرب طولي المتجهين مضروبًا في جيب الزاوية بينهما.

الرمز:

يُرمز للضرب الداخلي للمتجهين u وv بالرمز (u,v).

الصيغة:

في الفضاء الإحداثي ثنائي الأبعاد، يمكن تعريف الضرب الداخلي للمتجهين u وv على النحو التالي:

(u, v) = u_x v_x + u_y v_y

حيث ux​ وvx​ هما الإحداثي x للمتجهين u وv على التوالي، وuy​ وvy​ هما الإحداثي y للمتجهين u وv على التوالي.

في الفضاء الإحداثي ثلاثي الأبعاد، يمكن تعريف الضرب الداخلي للمتجهين u وv على النحو التالي:

(u, v) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z

حيث ux​ وvx​ وuy​ وvy​ وuz​ وvz​ هي الإحداثيات x وy وz للمتجهين u وv على التوالي.

خصائص الضرب الداخلي:

للضرب الداخلي للمتجهات خصائص عديدة، منها:

- التوزيعية:

(u+v,w)=(u,w)+(v,w)

- التناظرية:

(u,v)=(v,u)

- الإيجابية:

(u,u)≥0، و(u,u)=0 إذا وفقط إذا كان u=(0,0)

- الصفرية:

(u,v)=0 إذا وفقط إذا كان u وv متعامدان

تطبيقات الضرب الداخلي:

يستخدم الضرب الداخلي في العديد من المجالات العلمية، مثل:

- الفيزياء:

يستخدم الضرب الداخلي لحساب العمل الذي يقوم به القوى، وطاقة الحركة والطاقة الحركية.

- الهندسة:

يستخدم الضرب الداخلي لحساب حجم متوازي المستطيلات.

- الرياضيات:

يستخدم الضرب الداخلي لتعريف قياس الزاوية بين متجهين.

مثال على الضرب الداخلي:

لنفترض أن لدينا متجهين في الفضاء الإحداثي ثنائي الأبعاد:

u = (1, 2)

v = (3, 4)

يمكن حساب الضرب الداخلي للمتجهين u وv كما يلي:

(u, v) = u_x v_x + u_y v_y = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11

وهذا يعني أن حاصل ضرب متجهين u وv هو 11.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول الضرب الداخلي:

التمرين الأول:

احسب الضرب الداخلي للمتجهين u=(1,2) وv=(3,4) في الفضاء الإحداثي ثنائي الأبعاد.

الحل:

(u, v) = u_x v_x + u_y v_y = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11

التمرين الثاني:

احسب الضرب الداخلي للمتجهين u=(1,2,3) وv=(4,5,6) في الفضاء الإحداثي ثلاثي الأبعاد.

الحل:

(u, v) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 37

التمرين الثالث:

أثبت أن الضرب الداخلي للمتجهين u وv يساوي صفر إذا وفقط إذا كان u وv متعامدان.

الحل:

إذا كان u وv متعامدان، فإن الزاوية بينهما تساوي 90∘. وبما أن جيب الزاوية 90∘ يساوي صفر، فإن الضرب الداخلي للمتجهين u وv يساوي صفر.

وبالعكس، إذا كان الضرب الداخلي للمتجهين u وv يساوي صفر، فإن جيب الزاوية بينهما يساوي صفر. وبما أن جيب الزاوية 0 ∘ يساوي صفر، فإن الزاوية بينهما تساوي 90∘.