مقدمة في المتجهات:
- المتجهات هي كميات قياسية لها مقدار واتجاه. يمكن تمثيلها بسهم يوضح الطول والاتجاه.
- يمكن إضافة متجهين أو طرحهما أو ضربهما بثابت. كما يمكن قياس الزاوية بين متجهين.
- تستخدم المتجهات في العديد من المجالات العلمية، مثل الفيزياء والهندسة والاقتصاد.
أنواع المتجهات:
يمكن تقسيم المتجهات إلى أنواع مختلفة بناءً على عدد الأبعاد التي تتحرك فيها.
- المتجه أحادي البعد:
هو متجه له بعد واحد، مثل متجه السرعة.
- المتجه ثنائي الأبعاد:
هو متجه له بعدين، مثل متجه السرعة الزاوية.
- المتجه ثلاثي الأبعاد:
هو متجه له ثلاثة أبعاد، مثل متجه السرعة الخطية.
تمثيل المتجهات:
يمكن تمثيل المتجهات بعدة طرق، منها:
- السهم:
يمثل السهم الطول والاتجاه للمتجه.
- النقطتين:
تشير النقطة الأولى إلى بداية المتجه، وتشير النقطة الثانية إلى نهايته.
- المعادلة:
يمكن تمثيل المتجه بمعادلة تعطي طوله واتجاهه.
عمليات المتجهات:
يمكن إجراء العمليات التالية على المتجهات:
- الجمع:
يُضاف متجهان للحصول على متجه جديد له نفس الطول والاتجاه الناتج عن الجمع بين الطول والاتجاه للمتجهين الأصليين.
- الطرح:
يُطرح متجهان للحصول على متجه جديد له نفس الطول والاتجاه الناتج عن طرح الطول والاتجاه للمتجهين الأصليين.
- الضرب بثابت:
يُضرب متجه بثابت للحصول على متجه جديد له نفس الاتجاه للمتجه الأصلي، وطول يساوي طول المتجه الأصلي مضروبًا في الثابت.
- ضرب المتجهات:
يُضرب متجهان للحصول على متجه جديد له طول يساوي حاصل ضرب طولي المتجهين الأصليين مضروبًا في جيب الزاوية بينهما.
- قياس الزاوية بين متجهين:
يمكن قياس الزاوية بين متجهين باستخدام قانون الجيب.
تطبيقات المتجهات:
تستخدم المتجهات في العديد من المجالات العلمية، مثل:
- الفيزياء:
تستخدم المتجهات لوصف حركة الأجسام، مثل السرعة والتسارع.
- الهندسة:
تستخدم المتجهات لوصف الأشكال الهندسية، مثل الخطوط والسطوح.
- الاقتصاد:
تستخدم المتجهات لوصف الاتجاهات الاقتصادية، مثل التغير في أسعار السلع.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول مقدمة في المتجهات:
التمرين الأول:
أعط مثالًا على متجه أحادي البعد.
الحل:
مثال على متجه أحادي البعد هو متجه السرعة، والذي يمثل سرعة الجسم في اتجاه واحد.
التمرين الثاني:
أعط مثالًا على متجه ثنائي الأبعاد.
الحل:
مثال على متجه ثنائي الأبعاد هو متجه السرعة الزاوية، والذي يمثل سرعة دوران الجسم حول محور ثابت.
التمرين الثالث:
أعط مثالًا على متجه ثلاثي الأبعاد.
الحل:
مثال على متجه ثلاثي الأبعاد هو متجه السرعة الخطية، والذي يمثل سرعة الجسم في ثلاثة أبعاد.
التمرين الرابع:
ارسم متجهًا بطول 5 وحدات واتجاه 120 درجة.
الحل:
يمكن رسم متجه بطول 5 وحدات واتجاه 120 درجة كما يلي:
[
{
"x": 5 * cos(120deg),
"y": 5 * sin(120deg)
}
]
التمرين الخامس:
احسب محصلة متجهين متوازيين بطول 5 وحدات وطول 7 وحدات على التوالي.
الحل:
المحصلة هي متجه بطول 12 وحدة.
[
{
"x": 5 + 7,
"y": 0
}
]
التمرين السادس:
احسب متجه السرعة الخطية لجسم يتحرك بسرعة 5 م/ث في اتجاه 270 درجة.
الحل:
المتجه هو:
[
{
"x": 5 * sin(270deg),
"y": 5 * cos(270deg)
}
]
التمرين السابع:
احسب الزاوية بين متجهين بطول 3 وحدات وطول 5 وحدات على التوالي.
الحل:
الزاوية هي 60 درجة.
60deg = atan2(5 / 3)
هذه مجرد بعض التمارين حول مقدمة في المتجهات. هناك العديد من التمارين الأخرى التي يمكن استخدامها لتدريب الطلاب على فهم المفاهيم الأساسية للمتجهات.
التسميات
رياضيات 3 ثا. سع