القيم القصوى ومتوسط معدل التغير:
في الرياضيات، القيم القصوى هي أقصى قيم الدالة، إما عظمى أو صغرى. يمكن أن تكون القيم القصوى محلية أو مطلقة.
القيمة القصوى المحلية:
هي القيمة القصوى للدالة في فترة محدودة.
القيمة القصوى المطلقة:
هي القيمة القصوى للدالة في مجالها الكامل.
متوسط معدل التغير:
هو معدل تغير الدالة في فترة محدودة. يمكن حساب متوسط معدل التغير باستخدام الصيغة التالية:
متوسط معدل التغير = (f(b) - f(a))/(b - a)
حيث:
- f(b) هي قيمة الدالة عند x = b.
- f(a) هي قيمة الدالة عند x = a.
- b و a هما نقطتين في فترة التغير.
القيم القصوى ومتوسط معدل التغير:
ترتبط القيم القصوى ومتوسط معدل التغير ارتباطًا وثيقًا. في الواقع، يمكن استخدام متوسط معدل التغير لتحديد النقاط التي تكون فيها الدالة قيمًا قصوى.
القيم القصوى المحلية:
إذا كان متوسط معدل التغير موجبًا في فترة محدودة، فإن الدالة تزداد في تلك الفترة. إذا كان متوسط معدل التغير سالبًا في فترة محدودة، فإن الدالة تنقص في تلك الفترة.
إذا كان متوسط معدل التغير صفرًا في فترة محدودة، فإن الدالة مستقرة في تلك الفترة.
إذا كان متوسط معدل التغير غير محدود في فترة محدودة، فإن الدالة لها نقطة انعطاف في تلك الفترة.
القيم القصوى المطلقة:
إذا كانت الدالة لها قيمة صغرى في فترة محدودة، فإن متوسط معدل التغير سيكون سالبًا في بداية الفترة وسيكون موجبًا في نهاية الفترة.
إذا كانت الدالة لها قيمة عظمى في فترة محدودة، فإن متوسط معدل التغير سيكون موجبًا في بداية الفترة وسيكون سالبًا في نهاية الفترة.
تطبيقات القيم القصوى ومتوسط معدل التغير:
لدى القيم القصوى ومتوسط معدل التغير العديد من التطبيقات في الرياضيات، مثل:
- حساب التفاضل والتكامل:
يستخدم القيم القصوى ومتوسط معدل التغير في حساب التفاضل والتكامل لدراسة التغيرات في الدوال.
- الهندسة:
يستخدم القيم القصوى ومتوسط معدل التغير في الهندسة لدراسة الأشكال الهندسية.
- الاقتصاد:
يستخدم القيم القصوى ومتوسط معدل التغير في الاقتصاد لدراسة الأسواق والشركات.
وغيرها من المجالات.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول القيم القصوى ومتوسط معدل التغير:
التمرين 1:
اوجد القيم القصوى المحلية للدالة التالية:
y = x^2 - 2x + 1
الحل:
يمكن إيجاد القيم القصوى المحلية للدالة عن طريق إيجاد النقاط التي يكون فيها متوسط معدل التغير غير محدود.
في هذه الحالة، يكون متوسط معدل التغير غير محدود عند x = 1. لذلك، فإن الدالة لها قيمة قصوى محلية عند x = 1.
التمرين 2:
اوجد النقاط التي يكون فيها متوسط معدل التغير للدالة التالية مساويًا للصفر:
y = x^3
الحل:
يمكن إيجاد النقاط التي يكون فيها متوسط معدل التغير مساويًا للصفر عن طريق حل المعادلة التالية:
(f(b) - f(a))/(b - a) = 0
في هذه الحالة، يكون متوسط معدل التغير مساويًا للصفر عند x = 0.
التمرين 3:
أوجد القيم القصوى المطلقة للدالة التالية:
y = x^2
الحل:
يمكن إيجاد القيم القصوى المطلقة للدالة عن طريق إيجاد النقاط التي يكون فيها متوسط معدل التغير موجبًا في بداية الفترة وسيكون سالبًا في نهاية الفترة.
في هذه الحالة، يكون متوسط معدل التغير موجبًا عند x > 0 وسيكون سالبًا عند x < 0. لذلك، فإن الدالة لها قيمة عظمى عند x = 0.
هذه مجرد أمثلة قليلة على التمارين حول القيم القصوى ومتوسط معدل التغير. يمكن العثور على المزيد من التمارين في الكتب المدرسية، أو على الإنترنت.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول القيم القصوى ومتوسط معدل التغير:
التمرين 1:
اوجد القيم القصوى المحلية للدالة التالية:
y = x^3 + 3x^2 - 2x + 1
الحل:
يمكن إيجاد القيم القصوى المحلية للدالة عن طريق إيجاد النقاط التي يكون فيها متوسط معدل التغير غير محدود.
في هذه الحالة، يكون متوسط معدل التغير غير محدود عند x = -1 و x = 1. لذلك، فإن الدالة لها قيمة قصوى محلية عند x = -1 و x = 1.
التمرين 2:
اوجد النقاط التي يكون فيها متوسط معدل التغير للدالة التالية مساويًا للصفر:
y = x^3 - x^2 + x - 1
الحل:
يمكن إيجاد النقاط التي يكون فيها متوسط معدل التغير مساويًا للصفر عن طريق حل المعادلة التالية:
(f(b) - f(a))/(b - a) = 0
في هذه الحالة، يكون متوسط معدل التغير مساويًا للصفر عند x = -1 و x = 1.
التمرين 3:
اوجد القيم القصوى المطلقة للدالة التالية:
y = x^4
الحل:
يمكن إيجاد القيم القصوى المطلقة للدالة عن طريق إيجاد النقاط التي يكون فيها متوسط معدل التغير موجبًا في بداية الفترة وسيكون سالبًا في نهاية الفترة.
في هذه الحالة، يكون متوسط معدل التغير موجبًا عند x > 0 وسيكون سالبًا عند x < 0. لذلك، فإن الدالة لها قيمة عظمى عند x = 0.
التمرين 4:
اوجد النقاط التي يكون فيها منحنى الدالة التالية يقطع المشتق للدالة:
y = x^3 - x^2 + x - 1
الحل:
يمكن إيجاد النقاط التي يكون فيها منحنى الدالة يقطع المشتق للدالة عن طريق حل المعادلة التالية:
y'(x) = 0
في هذه الحالة، يكون المشتق للدالة مساويًا للصفر عند x = -1 و x = 1.
التمرين 5:
اوجد النقاط التي يكون فيها منحنى الدالة التالية يقطع محور الординат:
y = x^3 - x^2 + x - 1
الحل:
يمكن إيجاد النقاط التي يكون فيها منحنى الدالة يقطع محور الординат عن طريق حل المعادلة التالية:
y = 0
في هذه الحالة، يكون y مساويًا للصفر عند x = 0.
هذه مجرد أمثلة قليلة على التمارين حول القيم القصوى ومتوسط معدل التغير. يمكن العثور على المزيد من التمارين في الكتب المدرسية، أو على الإنترنت.
التسميات
رياضيات 3 ثا. سع