النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية:
النظير الضربي للمصفوفة:
النظير الضربي للمصفوفة (inverse matrix) هي مصفوفة مربعة لها نفس حجم المصفوفة الأصلية، بحيث يكون حاصل ضرب المصفوفة الأصلية والنظير الضربي يساوي مصفوفة الوحدة.
يمكن حساب نظير المصفوفة باستخدام طريقة غاوس-جونتر أو طريقة كوشي.
أنظمة المعادلات الخطية:
نظام المعادلات الخطية هو مجموعة من المعادلات الخطية التي تحتوي على نفس مجموعة المتغيرات.
يمكن حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طرق مختلفة، مثل طريقة الإكمال المربع، وطريقة كرامر، وطريقة غاوس-جونتر.
علاقة النظير الضربي للمصفوفة بأنظمة المعادلات الخطية:
يمكن استخدام نظير المصفوفة لحل نظام المعادلات الخطية.
إذا كان لدينا نظام المعادلات الخطية التالي:
Ax = b
حيث:
- A هي مصفوفة مربعة من الرتبة n.
- x هي مصفوفة من الرتبة n تحتوي على n متغيرات.
- b هي مصفوفة من الرتبة n تحتوي على n عدد ثابت.
- فإذا كان A لها نظير ضرابي، فإن الحل الوحيد لنظام المعادلات الخطية السابق هو:
- x = A^-1 * b
أمثلة على استخدام نظير المصفوفة لأنظمة المعادلات الخطية:
فيما يلي بعض الأمثلة على استخدام نظير المصفوفة لأنظمة المعادلات الخطية:
مثال 1:
حل نظام المعادلات الخطية التالي باستخدام نظير المصفوفة:
x + 2y = 3
3x - y = 2
الحل:
أولاً، نحسب محدد المصفوفة A:
det(A) = 11
بما أن محدد المصفوفة A غير صفري، فإنها لها نظير ضرابي.
نحسب نظير المصفوفة A:
A^-1 = [[3/11, -2/11], [-1/11, 1/11]]
أخيرًا، نحل نظام المعادلات الخطية باستخدام نظير المصفوفة:
x = A^-1 * b
x = [[3/11, -2/11]] * [[3], [2]]
x = [9/11, -4/11]
وهكذا، فإن الحل الوحيد لنظام المعادلات الخطية السابق هو:
x = 9/11, y = -4/11
مثال 2:
حل نظام المعادلات الخطية التالي باستخدام نظير المصفوفة:
2x + y = 3
x - 2y = 4
الحل:
أولاً، نحسب محدد المصفوفة A:
det(A) = -10
بما أن محدد المصفوفة A غير صفري، فإنها لها نظير ضرابي.
نحسب نظير المصفوفة A:
A^-1 = [[-1/5, 2/5], [1/5, -1/5]]
أخيرًا، نحل نظام المعادلات الخطية باستخدام نظير المصفوفة:
x = A^-1 * b
x = [[-1/5, 2/5]] * [[3], [4]]
x = [-3/5, 8/5]
وهكذا، فإن الحل الوحيد لنظام المعادلات الخطية السابق هو:
x = -3/5, y = 8/5
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية:
التمرين 1:
احسب نظير المصفوفة التالية:
A = [[1, 2], [3, 4]]
الحل:
A^-1 = [[-2, 1], [1/2, -1/2]]
التمرين 2:
حل نظام المعادلات الخطية التالي باستخدام نظير المصفوفة:
x + 2y = 3
3x - y = 2
الحل:
x = A^-1 * b
x = [[3/11, -2/11]] * [[3], [2]]
x = [9/11, -4/11]
وهكذا، فإن الحل الوحيد لنظام المعادلات الخطية السابق هو:
x = 9/11, y = -4/11
التمرين 3:
حل نظام المعادلات الخطية التالي باستخدام نظير المصفوفة:
2x + y = 3
x - 2y = 4
الحل:
x = A^-1 * b
x = [[-1/5, 2/5]] * [[3], [4]]
x = [-3/5, 8/5]
وهكذا، فإن الحل الوحيد لنظام المعادلات الخطية السابق هو:
x = -3/5, y = 8/5
يمكنك إنشاء تمارين خاصة بك بناءً على اهتماماتك وأهدافك. على سبيل المثال، إذا كنت مهتمًا بعلوم الحاسب، يمكنك إنشاء تمرين حول استخدام نظير المصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية لمعالجة الصور.
التسميات
رياضيات 2 ثا. سع