القطوع المكافئة:
القطع المكافئ هو شكل هندسي ثنائي الأبعاد، وهو أحد القطوع المخروطية. وينشأ القطع المكافئ من قطع سطح مخروطي دائري قائم بمستو موازٍ لراسم هذا السطح (أي الخط المولد له).
خصائص القطع المكافئ:
يتميز القطع المكافئ بخصائص عديدة، منها:
- نقطة تسمى البؤرة: تقع البؤرة على المحور الرئيسي للقطع المكافئ، وتكون على نفس بعد الدليل من المحور الرئيسي.
- خط يسمى الدليل: يمر الدليل بالنقطة التي تقع على المحور الرئيسي للقطع المكافئ، ويكون عموديًا على هذا المحور.
- محور يسمى المحور الرئيسي: يمر بالبؤرة، ويكون عموديًا على الدليل.
- رأس القطع المكافئ: هي نقطة تقع على المحور الرئيسي للقطع المكافئ، وتكون على نفس بعد البؤرة من الدليل.
يمكن تعريف القطع المكافئ رياضيًا على أنه المحل الهندسي للنقاط التي تبعد عن البؤرة مسافة مساوية للتي تبعدها عن الدليل.
التطبيقات الهندسية للقطع المكافئ:
يوجد العديد من التطبيقات الهندسية للقطع المكافئ، منها:
- مرآة القطع المكافئ: تُستخدم مرآة القطع المكافئ في تركيز الضوء، مثلًا في المصابيح الكاشفة.
- الراديو: يستخدم القطع المكافئ في تجميع الإشارات الراديوية، مثلًا في الهوائيات.
- الطاقة الشمسية: تستخدم القطع المكافئ في تجميع ضوء الشمس، مثلًا في الألواح الشمسية.
أمثلة للقطوع المكافئة في الطبيعة:
يوجد العديد من الأمثلة على القطوع المكافئة في الطبيعة، منها:
- مسار الضوء المنعكس من مرآة القطع المكافئ.
- مسار الضوء المنكسر من عدسة القطع المكافئ.
- مسار الصواريخ والمذنبات.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول القطوع المكافئة:
التمرين الأول:
ارسم قطعًا مكافئًا يمر بالبؤرة (6، 0) والدليل (0، 3).
الحل:
نبدأ بتحديد البؤرة (6، 0) والدليل (0، 3). ثم نرسم خطًا يمر بهذه النقطة، ويسمى المحور الرئيسي. ثم نرسم خطًا عموديًا على المحور الرئيسي، ويسمى الدليل.
بعد ذلك، نرسم نقطتين على الدليل، بحيث تكون المسافة بين كل نقطة والبؤرة مساوية للمسافة بين هذه النقطة والدليل. ثم نوصل هذه النقطتين بخط، وهو القطع المكافئ.
التمرين الثاني:
اوجد بؤرة ودليل القطع المكافئ الذي يمر بالنقاط (2، 4)، (6، 0)، (-4، 0).
الحل:
نبدأ بربط النقاط (2، 4) و(-4، 0) بخط. ثم نرسم خطًا عموديًا على هذا الخط، ويسمى الدليل.
نلاحظ أن الدليل يمر بالنقطة (0، 2). كما نلاحظ أن المسافة بين البؤرة والدليل تساوي المسافة بين أي نقطة على الدليل والنقطة (0، 2).
لذلك، فإن بؤرة القطع المكافئ هي النقطة التي تبعد عن (0، 2) مسافة 4. أي (0، 6).
التمرين الثالث:
اوجد طول المحور الرئيسي للقطع المكافئ الذي يمر بالنقاط (2، 4)، (6، 0)، (-4، 0).
الحل:
نلاحظ أن القطع المكافئ يقع بين النقطتين (2، 4) و(-4، 0). كما نلاحظ أن طول هذا المستقيم يساوي 8.
لذلك، فإن طول المحور الرئيسي للقطع المكافئ هو 8.
التمرين الرابع:
اوجد طول المحور المرافق للقطع المكافئ الذي يمر بالنقاط (2، 4)، (6، 0)، (-4، 0).
الحل:
نلاحظ أن المحور المرافق للقطع المكافئ هو المحور العمودي على المحور الرئيسي، ويمر بالبؤرة.
كما نلاحظ أن طول هذا المحور يساوي المسافة بين البؤرة والنقطة (0، 2). أي 6.
لذلك، فإن طول المحور المرافق للقطع المكافئ هو 6.
التمرين الخامس:
اوجد رأس القطع المكافئ الذي يمر بالنقاط (2، 4)، (6، 0)، (-4، 0).
الحل:
نلاحظ أن رأس القطع المكافئ هو النقطة التي تبعد عن البؤرة والدليل مسافة متساوية.
كما نلاحظ أن هذه النقطة هي النقطة التي تقع على المحور الرئيسي، وتبعد عن البؤرة 6.
لذلك، فإن رأس القطع المكافئ هو النقطة (6، 0).
هذه مجرد بعض التمارين حول القطوع المكافئة. هناك العديد من التمارين الأخرى التي يمكن أن تُستخدم لتدريب الطلاب على هذه الأشكال الهندسية.
التسميات
رياضيات 3 ثا. سع