الإحداثيات القطبية polar coordinates.. تمثيل نقطة في المستوى الإحداثي بالإحداثيات القطبية

الإحداثيات القطبية:

الإحداثيات القطبية هي نظام إحداثيات يستخدم لوصف موقع نقطة في المستوى الإحداثي أو الفضاء. تتكون الإحداثيات القطبية من بعدين:

- البعد الشعاعي:

يمثل المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة.

- البعد الزاوي:

يمثل الزاوية بين المحور الإحداثي الإيجابي والخط الممتد من نقطة الأصل إلى النقطة.

كيفية تمثيل نقطة في المستوى الإحداثي بالإحداثيات القطبية:

يمكن تمثيل نقطة في المستوى الإحداثي بالإحداثيات القطبية على النحو التالي:

(r, \theta)

حيث r هو البعد الشعاعي، وθ هو البعد الزاوي.

يمكن تمثيل نقطة في الفضاء الثلاثي الأبعاد بالإحداثيات القطبية على النحو التالي:

(r, \theta, \phi)

حيث r هو البعد الشعاعي، وθ هو البعد الزاوي الأول، وϕ هو البعد الزاوي الثاني.

استخدام الإحداثيات القطبية:

تستخدم الإحداثيات القطبية في العديد من المجالات العلمية، مثل:

- الفيزياء:

تستخدم الإحداثيات القطبية لوصف حركة الأجسام في الفضاء.

- الهندسة:

تستخدم الإحداثيات القطبية لوصف الخطوط والقطاعات الدائرية.

- الرسم:

تستخدم الإحداثيات القطبية لوصف الأشكال الهندسية.

تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية:

يمكن تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية باستخدام الصيغ التالية:

r = \sqrt{x^2 + y^2}

\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )

حيث x وy هما الإحداثيات الديكارتية.

تحويل الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية:

يمكن تحويل الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية باستخدام الصيغ التالية:

x = r \cos \theta

y = r \sin \theta

حيث r وθ هما الإحداثيات القطبية.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول الإحداثيات القطبية:

التمرين الأول:

احسب الإحداثيات الديكارتية للنقطة (4,60∘).

الحل:

يمكن تحويل الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية باستخدام الصيغ التالية:

x = r \cos \theta

y = r \sin \theta

حيث r وθ هما الإحداثيات القطبية.

في هذا المثال، $r=4$ و$\theta =60^{\circ }$. إذن، الإحداثيات الديكارتية للنقطة (4,60∘) هي:

x = 4 \cos 60^\circ = 2

y = 4 \sin 60^\circ = 4 \sqrt{3}

وبالتالي، الإحداثيات الديكارتية للنقطة $(4,60^{\circ })$ هي $(2,4\sqrt{3})$.

التمرين الثاني:

احسب الإحداثيات القطبية للنقطة $(-3,30^{\circ })$.

الحل:

يمكن تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية باستخدام الصيغ التالية:

r = \sqrt{x^2 + y^2}

\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )

حيث x وy هما الإحداثيات الديكارتية.

في هذا المثال، $x=-3$ و$y=3$. إذن، الإحداثيات القطبية للنقطة $(-3,30^{\circ })$ هي:

r = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}

\theta = \arctan \left ( \frac{3}{-3} \right ) = -90^\circ

وبالتالي، الإحداثيات القطبية للنقطة $(-3,30^{\circ })$ هي $(3\sqrt{2},-90^{\circ })$.

التمرين الثالث:

ارسم النقطة (r,θ) في المستوى الإحداثي.

الحل:

يمكن رسم النقطة (r,θ) في المستوى الإحداثي باستخدام الخطوات التالية:

• ارسم دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها r.
• ارسم زاوية مقدارها θ من المحور الإحداثي الإيجابي.
• ارسم نقطة على دائرة الإحداثي عند نهاية الزاوية.

التمرين الرابع:

احسب البعد الشعاعي والبعد الزاوي للنقطة (x,y).

الحل:

يمكن حساب البعد الشعاعي والبعد الزاوي للنقطة (x,y) باستخدام الصيغ التالية:

r = \sqrt{x^2 + y^2}

\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )

حيث x وy هما الإحداثيات الديكارتية.

التمرين الخامس:

احسب الزاوية بين نقطتين في المستوى الإحداثي.

الحل:

يمكن حساب الزاوية بين نقطتين في المستوى الإحداثي باستخدام الصيغة التالية:

\theta = \arctan \left ( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right )

حيث $(x_1,y_1)$ و$(x_2,y_2)$ هما الإحداثيات الديكارتية للنقطة الأولى والثانية على التوالي.

هذه مجرد بعض التمارين حول الإحداثيات القطبية. هناك العديد من التمارين الأخرى التي يمكن استخدامها لتدريب الطلاب على فهم المفاهيم الأساسية للإحداثيات القطبية