القانون العام والمميز:
القانون العام والمميز هما طريقتان لحل معادلات تربيعية من الدرجة الثانية.
القانون العام:
القانون العام هو صيغة يمكن استخدامها لحل أي معادلة تربيعية من الدرجة الثانية.
الصيغة هي:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
حيث:
- a هو معامل الدرجة الأولى.
- b هو معامل الدرجة الثانية.
- c هو الحد المطلق.
المميز:
المميز هو قيمة محددة يمكن استخدامها لتحديد عدد جذور معادلة تربيعية من الدرجة الثانية.
المميز هو:
b^2 - 4ac
إذا كان المميز موجبًا، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين.
إذا كان المميز سالبًا، فإن المعادلة لها جذرين مركبين.
إذا كان المميز يساوي صفرًا، فإن المعادلة لها جذر واحد حقيقي.
أمثلة:
فيما يلي بعض الأمثلة على استخدام القانون العام والمميز لحل معادلات تربيعية من الدرجة الثانية:
مثال 1:
حل المعادلة التربيعية التالية:
x^2 + 2x + 1 = 0
الحل:
أولًا، نحسب المميز:
b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * 1 = 0
لأن المميز يساوي صفرًا، فإن المعادلة لها جذر واحد حقيقي.
نستخدم القانون العام لحل المعادلة:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a = (-2 ± √(2^2 - 4 * 1 * 1)) / 2 * 1 = -1
وهكذا، فإن الحل الوحيد للمعادلة هو x = -1.
مثال 2:
حل المعادلة التربيعية التالية:
x^2 + 5x + 6 = 0
الحل:
أولًا، نحسب المميز:
b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * 6 = 1
لأن المميز موجبًا، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين.
نستخدم القانون العام لحل المعادلة:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a = (-5 ± √(5^2 - 4 * 1 * 6)) / 2 * 1 = -2 ± √1/4
وهكذا، فإن جذور المعادلة هي x = -2 ± √1/4.
مثال 3:
حل المعادلة التربيعية التالية:
x^2 - 4x + 4 = 0
الحل:
أولًا، نحسب المميز:
b^2 - 4ac = -4^2 - 4 * 1 * 4 = -16
لأن المميز سالبًا، فإن المعادلة لها جذرين مركبين.
نستخدم القانون العام لحل المعادلة:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a = (-(-4) ± √(-4^2 - 4 * 1 * 4)) / 2 * 1 = 2 ± √-9
وهكذا، فإن جذور المعادلة هي x = 2 ± √-9.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول القانون العام والمميز:
التمرين 1:
حل المعادلة التربيعية التالية باستخدام القانون العام:
x^2 + 3x - 10 = 0
الحل:
أولًا، نحسب المميز:
b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * -10 = 49
لأن المميز موجبًا، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين.
نستخدم القانون العام لحل المعادلة:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a = (-3 ± √(3^2 - 4 * 1 * -10)) / 2 * 1 = -1 ± √7
وهكذا، فإن جذور المعادلة هي x = -1 ± √7.
التمرين 2:
حل المعادلة التربيعية التالية باستخدام المميز:
x^2 - 6x + 8 = 0
الحل:
أولًا، نحسب المميز:
b^2 - 4ac = -6^2 - 4 * 1 * 8 = 4
لأن المميز موجبًا، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين.
نستخدم القانون العام لحل المعادلة:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a = (-(-6) ± √(-6^2 - 4 * 1 * 8)) / 2 * 1 = 3 ± √1/4
وهكذا، فإن جذور المعادلة هي x = 3 ± √1/4.
التمرين 3:
حل المعادلة التربيعية التالية باستخدام القانون العام والمميز:
x^2 + 2x + 1 = 0
الحل:
أولًا، نحسب المميز:
b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * 1 = 0
لأن المميز يساوي صفرًا، فإن المعادلة لها جذر واحد حقيقي.
نستخدم القانون العام لحل المعادلة:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a = (-2 ± √(2^2 - 4 * 1 * 1)) / 2 * 1 = -1
وهكذا، فإن الحل الوحيد للمعادلة هو x = -1.
يمكنك إنشاء تمارين خاصة بك بناءً على اهتماماتك وأهدافك. على سبيل المثال، إذا كنت مهتمًا بالهندسة، يمكنك إنشاء تمرين حول استخدام المميز لتحديد موقع نقاط التقاطع بين القطع المكافئ والمستقيم.
التسميات
رياضيات 2 ثا. سع