المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما:
المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما هي مجموعة من المتطابقات التي تربط بين قيم الدوال المثلثية لمجموع أو فرق زاويتين. يمكن استخدام هذه المتطابقات لتحويل المعادلات والمتباينات المثلثية إلى معادلات أو متباينات أبسط، مما يسهل حلها.
بعض المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين:
- جيب الزاوية (θ + ϕ):
sin (θ + ϕ) = sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ
- جيب التمام الزاوية (θ + ϕ):
cos (θ + ϕ) = cos θ cos ϕ - sin θ sin ϕ
- ظل الزاوية (θ + ϕ):
tan (θ + ϕ) = (tan θ + tan ϕ) / (1 - tan θ tan ϕ)
بعض المتطابقات المثلثية للفرق بين زاويتين
- جيب الزاوية (θ - ϕ):
sin (θ - ϕ) = sin θ cos ϕ - cos θ sin ϕ
- جيب التمام الزاوية (θ - ϕ):
cos (θ - ϕ) = cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ
- ظل الزاوية (θ - ϕ):
tan (θ - ϕ) = (tan θ - tan ϕ) / (1 + tan θ tan ϕ)
تطبيقات المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما:
- حل المعادلات والمتباينات المثلثية:
يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما لتحويل المعادلات والمتباينات المثلثية إلى معادلات أو متباينات أبسط، مما يسهل حلها.
- إثبات النظريات الرياضية:
يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما لإثبات النظريات الرياضية حول الدوال المثلثية.
- الهندسة:
يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما في الهندسة لحساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلثات.
- الفيزياء:
يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما في الفيزياء لحساب كميات فيزيائية مثل القوة والسرعة والطاقة.
ملاحظات:
- يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما لتحويل المعادلات والمتباينات المثلثية إلى معادلات أو متباينات أبسط، مما يسهل حلها.
- يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما لإثبات النظريات الرياضية حول الدوال المثلثية.
- المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما لها العديد من التطبيقات في مختلف المجالات، مثل الهندسة والفيزياء.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما:
التمرين 1:
استخدم المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين لحساب sin (20° + 30°).
الحل:
sin (20° + 30°) = sin 20° cos 30° + cos 20° sin 30°
= (0.34202014332566883) * (0.8660254037844386) + (0.9406926207859085) * (0.5)
= 0.5646314530265389
وبالتالي، فإن sin (20° + 30°) = 0.5646314530265389.
التمرين 2:
استخدم المتطابقات المثلثية للفرق بين زاويتين لحساب cos (60° - 45°).
الحل:
cos (60° - 45°) = cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45°
= (0.5) * (0.7071067811865475) + (0.8660254037844386) * (0.7071067811865475)
= 0.6427876100000001
وبالتالي، فإن cos (60° - 45°) = 0.6427876100000001.
التمرين 3:
استخدم المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين لحل المعادلة التالية:
tan (θ + 20°) = 0.7
الحل:
نستخدم المتطابقة tan (θ + ϕ) = (tan θ + tan ϕ) / (1 - tan θ tan ϕ) لتحويل المعادلة إلى:
(tan θ + tan 20°) / (1 - tan θ tan 20°) = 0.7
نقوم بحل المعادلة للحصول على قيمة θ:
tan θ + tan 20° = 0.7 tan θ - 0.7 tan 20°
0.3 tan θ = 0.7 tan 20°
tan θ = 2.333333333333333
θ = arctan (2.333333333333333)
θ = 67.38582749929583°
وبالتالي، فإن الحل هو θ = 67.38582749929583°.
هذه مجرد أمثلة قليلة على التمارين حول المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما. يمكن العثور على المزيد من التمارين في الكتب المدرسية، أو على الإنترنت.
التسميات
رياضيات 3 ثا. سع