المتجهات في المستوى الإحداثي:
المتجهات في المستوى الإحداثي هي المتجهات التي تتحرك في مستوى إحداثي. تتكون المتجهات في المستوى الإحداثي من زوج من الإحداثيات، واحدة للأبعاد الأفقية (x) والأخرى للأبعاد الرأسية (y).
طرق تمثيل المتجهات في المستوى الإحداثي:
يمكن تمثيل المتجهات في المستوى الإحداثي بعدة طرق، منها:
- السهم: يمثل السهم الطول والاتجاه للمتجه.
- النقطتين: تشير النقطة الأولى إلى بداية المتجه، وتشير النقطة الثانية إلى نهايته.
- المعادلة: يمكن تمثيل المتجه بمعادلة تعطي طوله واتجاهه.
تمثيل المتجهات في المستوى الإحداثي:
يمكن تمثيل متجه في المستوى الإحداثي باستخدام زوج من الإحداثيات، واحدة للأبعاد الأفقية (x) والأخرى للأبعاد الرأسية (y). على سبيل المثال، المتجه الذي يمثله الزوج (2، 3) يمتد من النقطة (0، 0) إلى النقطة (2، 3).
يمكن أيضًا تمثيل متجه في المستوى الإحداثي باستخدام سهم. يشير السهم إلى الطول والاتجاه للمتجه.
أخيرًا، يمكن تمثيل متجه في المستوى الإحداثي باستخدام معادلة. تعطي المعادلة طول المتجه واتجاهه. على سبيل المثال، المعادلة
(x, y) = (2, 3)
تمثل متجهًا بطول 2 وحدة واتجاه 30 درجة.
عمليات المتجهات في المستوى الإحداثي:
يمكن إجراء العمليات التالية على المتجهات في المستوى الإحداثي:
- الجمع:
يُضاف متجهان في المستوى الإحداثي للحصول على متجه جديد له نفس الطول والاتجاه الناتج عن الجمع بين الطول والاتجاه للمتجهين الأصليين.
- الطرح:
يُطرح متجهان في المستوى الإحداثي للحصول على متجه جديد له نفس الطول والاتجاه الناتج عن طرح الطول والاتجاه للمتجهين الأصليين.
- الضرب بثابت:
يُضرب متجه في المستوى الإحداثي بثابت للحصول على متجه جديد له نفس الاتجاه للمتجه الأصلي، وطول يساوي طول المتجه الأصلي مضروبًا في الثابت.
- ضرب المتجهات:
يمكن ضرب متجهين في المستوى الإحداثي للحصول على متجه جديد له طول يساوي حاصل ضرب طولي المتجهين الأصليين مضروبًا في جيب الزاوية بينهما.
- قياس الزاوية بين متجهين:
يمكن قياس الزاوية بين متجهين في المستوى الإحداثي باستخدام قانون الجيب.
تطبيقات المتجهات في المستوى الإحداثي:
تستخدم المتجهات في المستوى الإحداثي في العديد من المجالات العلمية، مثل:
- الفيزياء:
تستخدم المتجهات في الفيزياء لوصف حركة الأجسام، مثل السرعة والتسارع.
- الهندسة:
تستخدم المتجهات في الهندسة لوصف الأشكال الهندسية، مثل الخطوط والسطوح.
- الاقتصاد:
تستخدم المتجهات في الاقتصاد لوصف الاتجاهات الاقتصادية، مثل التغير في أسعار السلع.
أمثلة على المتجهات في المستوى الإحداثي:
فيما يلي بعض الأمثلة على المتجهات في المستوى الإحداثي:
- متجه السرعة:
يمثل سرعة الجسم في اتجاه واحد.
- متجه السرعة الزاوية:
يمثل سرعة دوران الجسم حول محور ثابت.
- متجه القوة:
يمثل قوة تؤثر على الجسم.
- متجه التسارع:
يمثل تسارع الجسم.
- متجه الوزن:
يمثل قوة الجاذبية التي تسحب الجسم نحو مركز الأرض.
يمكن استخدام المتجهات في المستوى الإحداثي لوصف العديد من الظواهر الفيزيائية، مثل الحركة والقوى والتسارع. يمكن أيضًا استخدامها لوصف الأشكال الهندسية، مثل الخطوط والسطوح.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول المتجهات في المستوى الإحداثي:
التمرين الأول:
ارسم متجهًا بطول 5 وحدات واتجاه 30 درجة.
الحل:
يمكن رسم متجه بطول 5 وحدات واتجاه 30 درجة كما يلي:
[
{
"x": 5 * cos(30deg),
"y": 5 * sin(30deg)
}
]
التمرين الثاني:
احسب محصلة متجهين متوازيين بطول 5 وحدات وطول 7 وحدات على التوالي.
الحل:
المحصلة هي متجه بطول 12 وحدة.
[
{
"x": 5 + 7,
"y": 0
}
]
التمرين الثالث:
احسب متجه السرعة الخطية لجسم يتحرك بسرعة 5 م/ث في اتجاه 270 درجة.
الحل:
المتجه هو:
[
{
"x": 5 * sin(270deg),
"y": 5 * cos(270deg)
}
]
التمرين الرابع:
احسب الزاوية بين متجهين بطول 3 وحدات وطول 5 وحدات على التوالي.
الحل:
الزاوية هي 60 درجة.
60deg = atan2(5 / 3)
التمرين الخامس:
ارسم متجهًا بطول 10 وحدات واتجاه 45 درجة.
الحل:
يمكن رسم متجه بطول 10 وحدات واتجاه 45 درجة كما يلي:
[
{
"x": 10 * cos(45deg),
"y": 10 * sin(45deg)
}
]
التمرين السادس:
احسب محصلة متجهين متعاكسين بطول 5 وحدات على التوالي.
الحل:
المحصلة هي متجه بطول صفر.
[
{
"x": 5 - 5,
"y": 0
}
]
التمرين السابع:
احسب متجه القوة الذي يؤثر على جسم كتلته 5 كجم، وله سرعة ثابتة مقدارها 10 م/ث في اتجاه 30 درجة.
الحل:
بما أن الجسم له سرعة ثابتة، فلا توجد قوة تؤثر عليه. لذلك، فإن متجه القوة يساوي صفر.
[
{
"x": 0,
"y": 0
}
]
التمرين الثامن:
ارسم متجهًا بطول 15 وحدات واتجاه 120 درجة.
الحل:
يمكن رسم متجه بطول 15 وحدات واتجاه 120 درجة كما يلي:
[
{
"x": 15 * cos(120deg),
"y": 15 * sin(120deg)
}
]
هذه مجرد بعض التمارين حول المتجهات في المستوى الإحداثي. هناك العديد من التمارين الأخرى التي يمكن استخدامها لتدريب الطلاب على فهم المفاهيم الأساسية للمتجهات في المستوى الإحداثي.
التسميات
رياضيات 3 ثا. سع