المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد هي المتجهات التي تتحرك في الفضاء الثلاثي الأبعاد. تتكون المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد من ثلاث إحداثيات، واحدة للأبعاد الأفقية (x) والأخرى للأبعاد الرأسية (y) والثالثة للأبعاد العمودية (z).
طرق تمثيل المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
يمكن تمثيل المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد بعدة طرق، منها:
- السهم: يمثل السهم الطول والاتجاه للمتجه.
- النقطتين: تشير النقطة الأولى إلى بداية المتجه، وتشير النقطة الثانية إلى نهايته.
- المعادلة: يمكن تمثيل المتجه بمعادلة تعطي طوله واتجاهه.
تمثيل المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
يمكن تمثيل متجه في الفضاء الثلاثي الأبعاد باستخدام ثلاث إحداثيات، واحدة للأبعاد الأفقية (x) والأخرى للأبعاد الرأسية (y) والثالثة للأبعاد العمودية (z). على سبيل المثال، المتجه الذي يمثله الزوج (2، 3، 4) يمتد من النقطة (0، 0، 0) إلى النقطة (2، 3، 4).
يمكن أيضًا تمثيل متجه في الفضاء الثلاثي الأبعاد باستخدام سهم. يشير السهم إلى الطول والاتجاه للمتجه.
أخيرًا، يمكن تمثيل متجه في الفضاء الثلاثي الأبعاد باستخدام معادلة. تعطي المعادلة طول المتجه واتجاهه. على سبيل المثال، المعادلة
(x, y, z) = (2, 3, 4)
تمثل متجهًا بطول 2 وحدة واتجاه 45 درجة.
عمليات المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
يمكن إجراء العمليات التالية على المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
- الجمع:
يُضاف متجهان في الفضاء الثلاثي الأبعاد للحصول على متجه جديد له نفس الطول والاتجاه الناتج عن الجمع بين الطول والاتجاه للمتجهين الأصليين.
- الطرح:
يُطرح متجهان في الفضاء الثلاثي الأبعاد للحصول على متجه جديد له نفس الطول والاتجاه الناتج عن طرح الطول والاتجاه للمتجهين الأصليين.
- الضرب بثابت:
يُضرب متجه في الفضاء الثلاثي الأبعاد بثابت للحصول على متجه جديد له نفس الاتجاه للمتجه الأصلي، وطول يساوي طول المتجه الأصلي مضروبًا في الثابت.
- ضرب المتجهات:
يمكن ضرب متجهين في الفضاء الثلاثي الأبعاد للحصول على متجه جديد له طول يساوي حاصل ضرب طولي المتجهين الأصليين مضروبًا في جيب الزاوية بينهما.
- قياس الزاوية بين متجهين:
يمكن قياس الزاوية بين متجهين في الفضاء الثلاثي الأبعاد باستخدام قانون الجيب.
تطبيقات المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
تستخدم المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد في العديد من المجالات العلمية، مثل:
- الفيزياء:
تستخدم المتجهات في الفيزياء لوصف حركة الأجسام، مثل السرعة والتسارع.
- الهندسة:
تستخدم المتجهات في الهندسة لوصف الأشكال الهندسية، مثل الخطوط والسطوح.
- الطيران:
تستخدم المتجهات في الطيران لوصف حركة الطائرات.
- الرسم:
تستخدم المتجهات في الرسم لوصف اتجاهات الخطوط.
أمثلة على المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
فيما يلي بعض الأمثلة على المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
- متجه السرعة: يمثل سرعة الجسم في اتجاه واحد.
- متجه السرعة الزاوية: يمثل سرعة دوران الجسم حول محور ثابت.
- متجه القوة: يمثل قوة تؤثر على الجسم.
- متجه التسارع: يمثل تسارع الجسم.
- متجه الوزن: يمثل قوة الجاذبية التي تسحب الجسم نحو مركز الأرض.
يمكن استخدام المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد لوصف العديد من الظواهر الفيزيائية، مثل الحركة والقوى والتسارع. يمكن أيضًا استخدامها لوصف الأشكال الهندسية، مثل الخطوط والسطوح.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
التمرين الأول:
ارسم متجهًا بطول 5 وحدات واتجاه 45 درجة في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
الحل:
يمكن رسم متجه بطول 5 وحدات واتجاه 45 درجة في الفضاء الثلاثي الأبعاد كما يلي:
import numpy as np
def draw_vector(x, y, z):
"""Draws a vector in three-dimensional space."""
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot([0, x], [0, y], [0, z], '-o')
plt.show()
draw_vector(5 * np.cos(45 * np.pi / 180), 5 * np.sin(45 * np.pi / 180), 0)
هذا سينتج الرسم التالي:
[Image of a 5-unit vector with a 45-degree angle in three-dimensional space]
التمرين الثاني:
احسب محصلة متجهين متعامدين في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
الحل:
إذا كان متجهان متعامدان، فإن محصودتهما هو متجه يساوي طول كل متجه مضروبًا في طول المتجه الآخر.
لنفترض أن لدينا متجهين متعامدين في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
u = (1, 0, 0)
v = (0, 1, 0)
فإن محصودتهما هي:
u + v = (1, 1, 0)
التمرين الثالث:
احسب الضرب الداخلي للمتجهين u=(1,2,3) وv=(4,5,6) في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
الحل:
يمكن حساب الضرب الداخلي للمتجهين u وv كما يلي:
(u, v) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 37
التمرين الرابع:
احسب الطول القياسي للمتجه u=(1,2,3) في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
الحل:
يمكن حساب الطول القياسي للمتجه u كما يلي:
||u|| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}
التمرين الخامس:
احسب الزاوية بين متجهين في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
الحل:
يمكن حساب الزاوية بين متجهين في الفضاء الثلاثي الأبعاد باستخدام قانون الجيب، كما يلي:
cos \theta = \frac{(u, v)}{||u|| \cdot ||v||}
حيث θ هي الزاوية بين المتجهين u وv.
لنفترض أن لدينا متجهين في الفضاء الثلاثي الأبعاد:
u = (1, 2, 3)
v = (4, 5, 6)
فإن الزاوية بين المتجهين u وv هي:
cos \theta = \frac{(u, v)}{||u|| \cdot ||v||} = \frac{37}{10}
وبالتالي، فإن الزاوية بين المتجهين u وv هي cos−1(1037)≈51.09∘.
هذه مجرد بعض التمارين حول المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد. هناك العديد من التمارين الأخرى التي يمكن استخدامها لتدريب الطلاب على فهم المفاهيم الأساسية للمتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
التسميات
رياضيات 3 ثا. سع