البرهان الاستدلالي للخواص الهندسية Deductive proof of geometric properties

البرهان الاستدلالي للخواص الهندسية:

البرهان الاستدلالي هو طريقة لعرض أن بيانًا صحيحًا من خلال سلسلة من الاستدلالات. في البرهان الاستدلالي، يبدأ المرء بفرضية، وهي بيان يعتقد المرء أنه صحيح. ثم، يستخدم المرء مجموعة من القواعد المنطقية لاستنتاج استنتاجات من الفرضية. إذا كان الاستنتاج صحيحًا، فإن ذلك يثبت أن الفرضية صحيحة أيضًا.

في سياق الهندسة، يمكن استخدام البراهين الاستدلالية لإثبات خصائص الأشكال الهندسية. على سبيل المثال، يمكن استخدام البرهان الاستدلالي لإثبات أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة.

خطوات البرهان الاستدلالي:

فيما يلي خطوات البرهان الاستدلالي:

- افترض بيانًا:

يجب أن يكون البيان الذي يفترض المرء أنه صحيح.

- استنتج استنتاجًا من الفرضية:

يجب أن يكون الاستنتاج صحيحًا إذا كانت الفرضية صحيحة.

- استخدم استنتاجك لاستنتاج استنتاج آخر:

يجب أن يكون الاستنتاج الآخر صحيحًا إذا كان الاستنتاج الأول صحيحًا.

- استمر في استنتاج استنتاجات أخرى:

استمر في هذه العملية حتى تصل إلى استنتاج واضح.

- تحقق من استنتاجك:

تحقق مما إذا كان استنتاجك صحيحًا. إذا كان كذلك، فقد أثبتت أن الفرضية صحيحة.

مثال على برهان استدلالي:

فيما يلي مثال على برهان استدلالي لإثبات أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة:

افتراض:

المثلث ABC له زوايا A و B و C.

استنتاج:

مجموع زوايا المثلث ABC يساوي 180 درجة.

برهان:

نظرًا لأن المثلث ABC له زوايا A و B و C، فإن مجموع هذه الزوايا يساوي 180 درجة.

لذلك، مجموع زوايا المثلث ABC يساوي 180 درجة.

تحقق:

هذا الاستنتاج صحيح لأنه صحيح منطقيًا.

لذلك، فقد أثبتنا أن الفرضية، وهي أن المثلث ABC له زوايا A و B و C، صحيحة.

أنواع البراهين الاستدلالية:

هناك العديد من أنواع البراهين الاستدلالية المختلفة. بعض أنواع البراهين الاستدلالية الشائعة هي:

- البرهان المباشر:

هذا هو النوع الأكثر شيوعًا من البرهان الاستدلالي. في البرهان المباشر، يبدأ المرء بالفرضية ويستخدم مجموعة من القواعد المنطقية لاستنتاج الاستنتاج.

- البرهان بالخلف:

في البرهان بالخلف، يبدأ المرء باستنتاج غير صحيح ويستنتج الفرضية من خلاله. إذا كانت الفرضية غير صحيحة، فإن الاستنتاج أيضًا غير صحيح.

- البرهان بالتعارض:

في البرهان بالتعارض، يبدأ المرء بفرضية معينة. ثم، يستنتج المرء استنتاجًا يتعارض مع الفرضية. إذا كانت الفرضية صحيحة، فإن الاستنتاج أيضًا صحيح.

- البرهان بالاستقراء:

في البرهان بالاستقراء، يبدأ المرء بمجموعة من الأمثلة التي تدعم بيانًا معينًا. ثم، يستنتج المرء أن البيان صحيح لجميع الأمثلة الممكنة.

أهمية البراهين الاستدلالية:

تلعب البراهين الاستدلالية دورًا مهمًا في الرياضيات. فهي تسمح لنا بتأكيد أن البيانات صحيحة. كما أنها تساعدنا على فهم العلاقات بين المفاهيم المختلفة.

في سياق الهندسة، تساعد البراهين الاستدلالية على إثبات خصائص الأشكال الهندسية. كما أنها تساعدنا على تطوير نظريات هندسية جديدة.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول البرهان الاستدلالي للخواص الهندسية:

التمرين 1:

استخدم برهانًا مباشرًا لإثبات أن مجموع زوايا المربع يساوي 360 درجة.

الحل:

افتراض:

المربع ABCD له زوايا A و B و C و D.

استنتاج:

مجموع زوايا المربع ABCD يساوي 360 درجة.

برهان:

نظرًا لأن المربع ABCD له زوايا A و B و C و D، فإن كل زاوية من هذه الزوايا تساوي 90 درجة.

لذلك، مجموع زوايا المربع ABCD يساوي 90 درجة + 90 درجة + 90 درجة + 90 درجة = 360 درجة.

تحقق:

هذا الاستنتاج صحيح لأنه صحيح منطقيًا.

لذلك، فقد أثبتنا أن الفرضية، وهي أن المربع ABCD له زوايا A و B و C و D، صحيحة.

التمرين 2:

استخدم برهانًا بالاستقراء لإثبات أن مجموع زوايا المضلع العادي يساوي (n-2)180 درجة، حيث n هو عدد أضلاع المضلع.

الحل:

افتراض:

المضلع العادي ABCDE له n أضلاع.

استنتاج:

مجموع زوايا المضلع العادي ABCDE يساوي (n-2)180 درجة.

برهان:

الحالة الأساسية:

• إذا كان n = 3، فإن المضلع ABCDE هو مثلث، ولدينا أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة.
• لذلك، فإن (n-2)180 درجة = 180 درجة.

الحالة العامة:

• نفترض أن البيان صحيح للمضلع العادي ABCDEF، حيث n = k.
• نريد إثبات أن البيان صحيح للمضلع العادي ABCDEFG، حيث n = k + 1.
• نظرًا لأن المضلع ABCDEFG هو مضلع عادي، فإن مجموع زوايا المضلع ABCDEFG يساوي مجموع زوايا المضلع ABCDEF وزوايا المثلث FGE.
• نظرًا لأن المضلع ABCDEF هو مضلع عادي، فإن مجموع زوايا المضلع ABCDEF يساوي (k-2)180 درجة.
• نظرًا لأن المثلث FGE هو مثلث، فإن مجموع زوايا المثلث FGE يساوي 180 درجة.
• لذلك، فإن مجموع زوايا المضلع ABCDEFG يساوي (k-2)180 درجة + 180 درجة = (k+1)180 درجة.
• لذلك، فإن البيان صحيح للمضلع العادي ABCDEFG.

الاستقراء:

نظرًا لأن الحالة الأساسية صحيحة، والحالة العامة صحيحة، فإن البيان صحيح لجميع القيم الممكنة لـ n.

تحقق:

• هذا الاستنتاج صحيح لأنه صحيح منطقيًا.
• لذلك، فقد أثبتنا أن الفرضية، وهي أن المضلع العادي ABCDE له n أضلاع، صحيحة.