العلاقات الخطية: ا س + ب ص = ج Linear relationships: a x + b y = c

العلاقات الخطية: ا س + ب ص = جـ:

العلاقة الخطية هي علاقة بين متغيرين حقيقيين x و y، يمكن تمثيلها بالمعادلة:

ax + by = c

حيث:

• a و b و c أعداد حقيقية.
• x هو المتغير المستقل.
• y هو المتغير التابع.

يمكن تمثيل العلاقة الخطية بيانياً على شكل خط مستقيم. وتعتمد ميل الخط المستقيم على قيمة معامل التغير b، بينما تعتمد نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور y على قيمة الثابت c.

إذا كان معامل التغير b موجبًا، فإن الخط المستقيم يميل لأعلى من اليسار إلى اليمين. وإذا كان معامل التغير b سالبًا، فإن الخط المستقيم يميل لأسفل من اليسار إلى اليمين. وإذا كان معامل التغير b يساوي 0، فإن الخط المستقيم أفقي ويمر بنقطة (0, c).

إذا كان الثابت c موجبًا، فإن الخط المستقيم يمر بنقطة (0, c) أعلى من محور y. وإذا كان الثابت c سالبًا، فإن الخط المستقيم يمر بنقطة (0, c) أسفل من محور y. وإذا كان الثابت c يساوي 0، فإن الخط المستقيم يمر بنقطة الأصل (0, 0).

أمثلة للعلاقات الخطية:

فيما يلي بعض الأمثلة على العلاقات الخطية:

• العلاقة الخطية y = 2x + 3 توضح أن ميل الخط المستقيم يساوي 2، وأن نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور y تساوي (0, 3).
• العلاقة الخطية y = -x + 1 توضح أن ميل الخط المستقيم يساوي -1، وأن نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور y تساوي (0, 1).
• العلاقة الخطية y = 0 توضح أن الخط المستقيم أفقي ويمر بنقطة (0, 0).

يمكن استخدام العلاقات الخطية لوصف العديد من الظواهر في العالم الحقيقي، مثل علاقة الطول والوزن، وعلاقة السعر والطلب، وعلاقة السرعة والوقت.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول العلاقات الخطية:

التمرين 1:

احسب قيمة ميل الخط المستقيم y = 2x + 3.

الحل:

ميل الخط المستقيم يساوي b، وهو 2 في هذه الحالة.

التمرين 2:

أوجد نقطة تقاطع الخط المستقيم y = 2x + 3 مع محور y.

الحل:

نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور y هي نقطة (0, c)، حيث c هو الثابت. في هذه الحالة، c = 3، لذا فإن نقطة تقاطع الخط المستقيم هي (0, 3).

التمرين 3:

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (2, 4) ونقطة (5, 8).

الحل:

باستخدام الصيغة العامة للمعادلة الخطية، نحصل على:

y - 4 = (8 - 4)/(5 - 2) * (x - 2)

y - 4 = 2(x - 2)

y = 2x + 4

إذن، معادلة الخط المستقيم هي y = 2x + 4.

التمرين 4:

أوجد قيمة x التي تحقق المعادلة y = 2x + 3 إذا كانت قيمة y تساوي 7.

الحل:

بوضع قيمة y = 7 في المعادلة، نحصل على:

7 = 2x + 3

4 = 2x

x = 2

إذن، قيمة x هي 2.

التمرين 5:

ارسم بيانياً العلاقة الخطية y = -x + 1.

الحل:

ميل الخط المستقيم يساوي -1، لذا فإن الخط المستقيم يميل لأسفل من اليسار إلى اليمين. نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور y تساوي (0, 1)، لذا فإن الخط المستقيم يمر بنقطة (0, 1).

يمكن رسم الخط المستقيم باستخدام الخطوات التالية:

• اضبط محور x على الفترة (-2, 2).
• اضبط محور y على الفترة (-2, 2).
• ضع نقطة (0, 1) على الرسم البياني.
• ارسم خطًا مستقيمًا يمر بهذه النقطة.

وإليك رسم بياني للعلاقة الخطية y = -x + 1:

[رسم بياني للعلاقة الخطية y = -x + 1]

هذه مجرد أمثلة قليلة من التمارين حول العلاقات الخطية. يمكن إجراء العديد من التمارين الأخرى بتغيير قيم المعاملات a و b و c في المعادلة.