القسمة المُطوَّلة لكثيرات الحدود بدون باقٍ Long division of polynomials without a remainder

القسمة المُطوَّلة لكثيرات الحدود بدون باقٍ:

القسمة المُطوَّلة لكثيرات الحدود بدون باقٍ هي طريقة لقسمة كثيرات الحدود على كثيرات الحدود أخرى، حيث لا يكون الناتج إلا كثيرات حدود واحدة.

تستخدم القسمة المُطوَّلة جدولًا لتجميع كثيرات الحدود، ثم يتم حساب الناتج تدريجيًا.

طريقة القسمة المُطوَّلة لكثيرات الحدود بدون باقٍ:

فيما يلي طريقة القسمة المُطوَّلة لكثيرات الحدود بدون باقٍ:

اكتب كثيرات الحدود المقسوم والمقسوم عليه في جدول، كما يلي:

المقسوم:

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0

 المقسوم عليه:

b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_2 x^2 + b_1 x + b_0

حيث:

${-\; a}_n{x}^n$ هو الحد الأعلى في المقسوم.
${-\; b}_m{x}^m$ هو الحد الأعلى في المقسوم عليه.

- ابدأ بضرب الحد الأعلى في المقسوم عليه في الحد الأعلى في المقسوم، ثم أضف الناتج إلى الحد الأعلى في المقسوم.

- كرر الخطوة الثانية لباقي الحدود في المقسوم عليه.

- إذا كان الحد الناتج في المقسوم أقل من الحد الأعلى في المقسوم عليه، فاكتب 0 في القسمة.

- كرر الخطوات 3 و 4 حتى تنتهي من قسمة جميع الحدود في المقسوم عليه.

- القسمة المُطوَّلة تنتهي عندما يكون الحد الناتج في المقسوم 0.

- الناتج هو الحد الأعلى في القسمة، مع مراعاة علامة القسمة.

مثال للقسمة المُطوَّلة لكثيرات الحدود بدون باقٍ:

فيما يلي مثال على القسمة المُطوَّلة لكثيرات الحدود بدون باقٍ:

| x^2 + 3x + 2 | x + 1 |

|---|---|

| x^2 | x^2 |

| 3x | 3x |

| 2 | 2x |

| -2 | -2x |

| 0 | 0 |

وبالتالي، فإن الناتج هو $x^2+2x$.

هناك بعض القواعد التي يجب مراعاتها عند استخدام القسمة المُطوَّلة لكثيرات الحدود بدون باقٍ:

• يجب أن يكون الدرجة في المقسوم عليه أعلى من أو تساوي الدرجة في المقسوم.
• إذا كانت الدرجة في المقسوم عليه أقل من الدرجة في المقسوم، فإن الناتج هو 0.
• إذا كانت الدرجة في المقسوم عليه مساوية للدرجة في المقسوم، فإن الناتج هو الحد الأعلى في المقسوم.

القسمة المُطوَّلة لكثيرات الحدود بدون باقٍ هي طريقة فعالة لقسمة كثيرات الحدود، ويمكن استخدامها لقسمة كثيرات الحدود ذات الدرجات العالية.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول القسمة المُطوَّلة لكثيرات الحدود بدون باقٍ:

التمرين 1:

اقسم كثيرات الحدود $x^2+3x+2$ على كثيرات الحدود $x+1$.

الحل:

باستخدام القسمة المُطوَّلة، نحصل على:

| x^2 + 3x + 2 | x + 1 |

|---|---|

| x^2 | x^2 |

| 3x | 3x |

| 2 | 2x |

| -2 | -2x |

| 0 | 0 |

وبالتالي، فإن الناتج هو $x^2+2x$.

التمرين 2:

اقسم كثيرات الحدود $x^3+2x^2+x+1$ على كثيرات الحدود $x^2+1$.

الحل:

باستخدام القسمة المُطوَّلة، نحصل على:

| x^3 + 2x^2 + x + 1 | x^2 + 1 |

|---|---|

| x^3 | x^3 |

| 2x^2 | 2x^2 |

| x | x^2 |

| 1 | x |

| -1 | -x |

| 0 | 0 |

وبالتالي، فإن الناتج هو x+1.

التمرين 3:

اقسم كثيرات الحدود $x^4+2x^3+3x^2+2x+1$ على كثيرات الحدود $x^2+1$.

الحل:

باستخدام القسمة المُطوَّلة، نحصل على:

| x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 | x^2 + 1 |

|---|---|

| x^4 | x^4 |

| 2x^3 | 2x^3 |

| 3x^2 | 3x^2 |

| 2x | 2x^2 |

| 2 | 2x |

| 1 | 2 |

| -1 | -2 |

| 0 | 0 |

وبالتالي، فإن الناتج هو $x^2+x+1$.

هذه مجرد أمثلة قليلة من تمارين القسمة المُطوَّلة لكثيرات الحدود بدون باقٍ. هناك العديد من التمارين الأخرى التي يمكن القيام بها لممارسة هذه المهارة.