ربط الحجوم ومساحات السطوح:
هناك علاقة بين حجم ومساحة سطح الأشكال الهندسية. فكلما زاد حجم الشكل، زادت مساحته. على سبيل المثال، إذا كانت الكرة أكبر، فستصبح مساحتها أكبر أيضًا.
هناك بعض الأشكال الهندسية التي يكون حجمها ومساحة سطحها مرتبطين ببعضها البعض بشكل مباشر. على سبيل المثال، حجم الأسطوانة يساوي مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع. ومساحة سطح الأسطوانة تساوي مجموع مساحة القاعدتين ومساحة المنحنى الجانبي. وبما أن مساحة القاعدة تساوي مساحة الدائرة، فإن حجم الأسطوانة ومساحة سطحها مرتبطان ببعضها البعض بشكل مباشر من خلال ثابت باي.
هناك أيضًا بعض الأشكال الهندسية التي يكون حجمها ومساحة سطحها مرتبطين ببعضها البعض بشكل غير مباشر. على سبيل المثال، حجم الكرة يساوي 4/3π نق³. ومساحة سطح الكرة تساوي 4π نق². وبما أن حجم الكرة ومساحة سطحها مرتبطان ببعضها البعض من خلال نصف القطر، فإن حجم الكرة ومساحة سطحها مرتبطان ببعضهما البعض بشكل غير مباشر.
في بعض الحالات، يمكن استخدام العلاقة بين حجم ومساحة سطح الشكل الهندسي لحساب أحدهما إذا كان الآخر معروفًا. على سبيل المثال، إذا كان حجم الأسطوانة 100 سم³، ويمكننا حساب مساحة سطحها باستخدام الصيغة الآتية:
مساحة سطح الأسطوانة = 2π نق² + 2π نق ع
حيث:
نق = نصف قطر الأسطوانة.
ع = ارتفاع الأسطوانة.
إذا افترضنا أن نصف قطر الأسطوانة نق = 5 سم، فإن مساحة سطحها تساوي:
مساحة سطح الأسطوانة = 2π نق² + 2π نق ع
= 2π × 5² + 2π × 5 × 10
= 50π + 100π
= 150π
وحيث أن قيمة π = 3.14، فإن مساحة سطح الأسطوانة تساوي:
مساحة سطح الأسطوانة = 150π
= 150 × 3.14
= 471.20 سم²
وبالتالي، يمكننا حساب مساحة سطح الأسطوانة إذا كان حجمها معروفًا.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول ربط الحجوم ومساحات السطوح:
التمرين 1:
أسطوانة طولها 10 سم ونصف قطرها 5 سم. ما هو حجمها ومساحة سطحها؟
الحل:
حجم الأسطوانة = π × 5² × 10 = 785.39 سم³
مساحة سطح الأسطوانة = 2π × 5² + 2π × 5 × 10 = 502.65 سم²
التمرين 2:
كرة نصف قطرها 5 سم. ما هو حجمها ومساحة سطحها؟
الحل:
حجم الكرة = 4/3π × 5³ = 523.60 سم³
مساحة سطح الكرة = 4π × 5² = 314.16 سم²
التمرين 3:
مكعب طول ضلعه 5 سم. ما هو حجمه ومساحة سطحه؟
الحل:
حجم المكعب = 5³ = 125 سم³
مساحة سطح المكعب = 6 × 5² = 150 سم²
التمرين 4:
هرم رباعي قائم طول قاعدته 6 سم وارتفاعه 10 سم. ما هو حجمه ومساحة سطحه؟
الحل:
حجم الهرم الرباعي قائم = 1/3 × قاعدته × ارتفاعه
= 1/3 × 6² × 10
= 120 سم³
مساحة سطح الهرم الرباعي قائم = مساحة القاعدة + 4 × مساحة الميل
= 6² + 4 × (1/2) × 6 × 10
= 36 + 120
= 156 سم²
التمرين 5:
أسطوانة طولها 20 سم ونصف قطرها 10 سم. ما هو حجمها ومساحة سطحها بالمتر المربع؟
الحل:
حجم الأسطوانة = π × 10² × 20 = 15707.9 سم³
= 1.57079 متر مكعب
مساحة سطح الأسطوانة = 2π × 10² + 2π × 10 × 20 = 15707.9 سم²
= 1.57079 متر مربع
هذه مجرد أمثلة قليلة من التمارين حول ربط الحجوم ومساحات السطوح. يمكن إجراء العديد من التمارين الأخرى بتغيير قيم الأبعاد المختلفة.
التسميات
رياضيات 2 إع مص