الدوران حول نقطة:
الدوران حول نقطة في الرياضيات هو تحويل هندسي يحول كل نقطة في المستوى أو الفضاء بزاوية معينة واتجاه معين حول نقطة ثابتة تسمى مركز الدوران.
في المستوى الإقليدي، يمكن تمثيل الدوران حول نقطة بمصفوفة دوران. على سبيل المثال، إذا كان الدوران بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل، فإن المصفوفة التي تمثل الدوران ستكون:
[[0, -1], [1, 0]]
إذا كانت النقطة الأصلية هي (1، 2)، فإن صورة النقطة (1، 2) بعد الدوران ستكون (-2، 1).
تمثيل الدوران في الفضاء الإقليدي:
في الفضاء الإقليدي، يمكن تمثيل الدوران حول نقطة بمصفوفة دوران ثلاثية الأبعاد. على سبيل المثال، إذا كان الدوران بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل، فإن المصفوفة التي تمثل الدوران ستكون:
[[0, 0, -1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]]
إذا كانت النقطة الأصلية هي (1، 2، 3)، فإن صورة النقطة (1، 2، 3) بعد الدوران ستكون (-3، 2، 1).
يحافظ الدوران حول نقطة على المسافات بين النقاط، ولكنه يحافظ على الزوايا. على سبيل المثال، إذا تم تدوير مستطيل بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة، فإن الصورة ستظل مستطيلًا، ولكن الزوايا ستكون متعاكسة.
يستخدم الدوران حول نقطة في العديد من التطبيقات العملية، مثل الرسوم المتحركة والتصميم الصناعي والهندسة. على سبيل المثال، يستخدم الدوران حول نقطة في الرسوم المتحركة لإنشاء حركات الأحرف.
خواص الدوران حول نقطة:
فيما يلي بعض خواص الدوران حول نقطة:
- يحافظ الدوران حول نقطة على المسافات بين النقاط.
- يحافظ الدوران حول نقطة على الزوايا.
- لا يحافظ الدوران حول نقطة على الأشكال الهندسية.
- لا يحافظ الدوران حول نقطة على الخطوط المستقيمة.
- لا يحافظ الدوران حول نقطة على الخطوط المتوازية.
- لا يحافظ الدوران حول نقطة على الخطوط المتقاطعة.
أمثلة للدوران حول نقطة:
فيما يلي بعض الأمثلة على الدوران حول نقطة:
- دوران عجلة سيارة.
- دوران سهم ساعة.
- دوران الأرض حول الشمس.
- دوران الكرة حول محورها.
- دوران طائرة حول محورها.
تطبيقات عملية للدوران حول نقطة:
فيما يلي بعض التطبيقات العملية للدوران حول نقطة:
- الرسوم المتحركة:
يستخدم الدوران حول نقطة في الرسوم المتحركة لإنشاء حركات الأحرف.
- التصميم الصناعي:
يستخدم الدوران حول نقطة في التصميم الصناعي لإنشاء نماذج ثلاثية الأبعاد.
- الهندسة:
يستخدم الدوران حول نقطة في الهندسة لدراسة حركة الأجسام.
- الفيزياء:
يستخدم الدوران حول نقطة في الفيزياء لدراسة حركة الأجسام الصلبة.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول الدوران حول نقطة:
التمرين 1:
ارسم دورانًا بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل.
الحل:
يمكننا رسم دورانًا بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل عن طريق رسم دائرة حول نقطة الأصل. ثم، نرسم خطًا مستقيمًا من نقطة الأصل إلى أي نقطة على الدائرة. ثم، نرسم خطًا مستقيمًا من النقطة على الدائرة إلى نقطة على الجانب الآخر من الدائرة. هذا هو خط الدوران.
التمرين 2:
ارسم الشكل الرباعي (1، 1)، (2، 2)، (3، 3)، (4، 4) بعد الدوران بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل.
الحل:
يمكننا رسم الشكل الرباعي بعد الدوران عن طريق رسم نقاط الصورة لكل من النقاط الأصلية. إذا كانت النقطة الأصلية هي (1، 1)، فإن صورة النقطة بعد الدوران ستكون (-1، 1). وبالتالي، فإن الصورة للشكل الرباعي هي (-1، 1)، (-2، 2)، (-3، 3)، (-4، 4).
التمرين 3:
ما هي مصفوفة الدوران التي تدور كل نقطة في المستوى بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل؟
الحل:
باستخدام مصفوفة الدوران، نحصل على:
[[0, -1], [1, 0]]
التمرين 4:
ما هي صورة النقطة (1، 2) بعد الدوران بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل؟
الحل:
باستخدام مصفوفة الدوران، نحصل على:
[[0, -1], [1, 0]]
إذا كانت النقطة الأصلية هي (1، 2)، فإن صورة النقطة بعد الدوران ستكون:
(-2, 1)
التمرين 5:
هل يحافظ الدوران حول نقطة على الخطوط المستقيمة؟
الحل:
لا يحافظ الدوران حول نقطة على الخطوط المستقيمة، لأنه يغير الاتجاه الزاوي للخط.
التسميات
رياضيات 1 اع. مص