الدوران على المستوى الإحداثي:
الدوران على المستوى الإحداثي هو تحويل هندسي يحول كل نقطة في المستوى بزاوية معينة واتجاه معين حول نقطة ثابتة تسمى مركز الدوران.
مكونات مصفوفة الدوران:
يمكن تمثيل الدوران على المستوى الإحداثي بمصفوفة دوران. تتكون مصفوفة الدوران من مكونين:
- المكون الأول هو متجه الوحدة في الاتجاه الذي يتم فيه الدوران.
- المكون الثاني هو متجه الوحدة في الاتجاه العمودي على الاتجاه الذي يتم فيه الدوران.
إذا كانت الزاوية التي يتم فيها الدوران بزاوية 𝜃، فإن مصفوفة الدوران تكون:
[[cos(𝜃), sin(𝜃)], [-sin(𝜃), cos(𝜃)]]
على سبيل المثال، إذا كان الدوران بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل، فإن مصفوفة الدوران ستكون:
[[0, -1], [1, 0]]
إذا كانت النقطة الأصلية هي (1، 2)، فإن صورة النقطة (1، 2) بعد الدوران ستكون:
(-2, 1)
يحافظ الدوران على المسافات بين النقاط، ولكنه يحافظ على الزوايا. على سبيل المثال، إذا تم تدوير مستطيل بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة، فإن الصورة ستظل مستطيلًا، ولكن الزوايا ستكون متعاكسة.
يستخدم الدوران على المستوى الإحداثي في العديد من التطبيقات العملية، مثل الرسوم المتحركة والتصميم الصناعي والهندسة. على سبيل المثال، يستخدم الدوران على المستوى الإحداثي في الرسوم المتحركة لإنشاء حركات الأحرف.
خواص الدوران على المستوى الإحداثي:
فيما يلي بعض خواص الدوران على المستوى الإحداثي:
- يحافظ الدوران على المسافات بين النقاط.
- يحافظ الدوران على الزوايا.
- لا يحافظ الدوران على الأشكال الهندسية.
- لا يحافظ الدوران على الخطوط المستقيمة.
- لا يحافظ الدوران على الخطوط المتوازية.
- لا يحافظ الدوران على الخطوط المتقاطعة.
أمثلة للدوران على المستوى الإحداثي:
فيما يلي بعض الأمثلة على الدوران على المستوى الإحداثي:
- دوران عجلة سيارة.
- دوران سهم ساعة.
- دوران الأرض حول الشمس.
- دوران الكرة حول محورها.
- دوران طائرة حول محورها.
تطبيقات عملية للدوران على المستوى الإحداثي:
فيما يلي بعض التطبيقات العملية للدوران على المستوى الإحداثي:
- الرسوم المتحركة:
يستخدم الدوران على المستوى الإحداثي في الرسوم المتحركة لإنشاء حركات الأحرف.
- التصميم الصناعي:
يستخدم الدوران على المستوى الإحداثي في التصميم الصناعي لإنشاء نماذج ثلاثية الأبعاد.
- الهندسة:
يستخدم الدوران على المستوى الإحداثي في الهندسة لدراسة حركة الأجسام.
- الفيزياء:
يستخدم الدوران على المستوى الإحداثي في الفيزياء لدراسة حركة الأجسام الصلبة.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول الدوران على المستوى الإحداثي:
التمرين 1:
ارسم دورانًا بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل.
الحل:
يمكننا رسم دورانًا بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل عن طريق رسم دائرة حول نقطة الأصل. ثم، نرسم خطًا مستقيمًا من نقطة الأصل إلى أي نقطة على الدائرة. ثم، نرسم خطًا مستقيمًا من النقطة على الدائرة إلى نقطة على الجانب الآخر من الدائرة. هذا هو خط الدوران.
التمرين 2:
ارسم الشكل الرباعي (1، 1)، (2، 2)، (3، 3)، (4، 4) بعد الدوران بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل.
الحل:
يمكننا رسم الشكل الرباعي بعد الدوران عن طريق رسم نقاط الصورة لكل من النقاط الأصلية. إذا كانت النقطة الأصلية هي (1، 1)، فإن صورة النقطة بعد الدوران ستكون (-1، 1). وبالتالي، فإن الصورة للشكل الرباعي هي (-1، 1)، (-2، 2)، (-3، 3)، (-4، 4).
التمرين 3:
ما هي مصفوفة الدوران التي تدور كل نقطة في المستوى بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل؟
الحل:
باستخدام مصفوفة الدوران، نحصل على:
[[0, -1], [1, 0]]
التسميات
رياضيات 1 اع. مص